§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку 1º. Асноўныя азначэнні



Дата канвертавання28.06.2016
Памер141.64 Kb.








§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
1º. Асноўныя азначэнні

Звычайнае дыферэнцыяльнае раўнанне n–га парадку запісваецца ў выглядзе



F(x, y(x), y(x), …, y(n)(x)) = 0, x І. (1)

Часцей за ўсё разглядаюцца раўнанні, якія вырашаны адносна старшай вытворнай



y(n) = f(x, y, y, …, y(n–1)), x І. (2)
Азначэнне. Рашэннем ЗДР (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку і задавальняе на ім раўнанню (2).
Для раўнання (2) задача Кашы задаецца з дапамогай некалькіх краявых (пачатковых) умоў

дзе y0, , …, — пачатковыя значэнні рашэння.


Тэарэма існавання і адзінасці рашэння (дастатковая ўмова).

Няхай дадзена задача Кашы (2), (3), і функцыя f(x, y, y, …, y(n–1)) вызначана ў некаторым замкнёным абсягу D прасторы Rn+1 с пунктамі (x, y, y, …, y(n–1)), і абсяг D змяшчае пункт

(x0, y0, , …, ).

Калі у абсягу D функцыя f(x, y, y, …, y(n–1)) непарыўная па ўсіх аргументах і мае абмежаваныя вытворныя па аргументах y, y, …, y(n–1), тады задача Кашы (2), (3) мае на некаторым прамежку па x адзінае рашэнне.



Без доказу.
2º. Віды рашэнняў і інтэгралаў

Азначэнне. Агульным рашэннем ЗДР (2) называецца функцыя

y = (x, C1, C2, ... , Cn), (4)

якая вызначана ў некаторым абсягу змянення аргументаў, мае непарыўныя частковыя вытворныя па x да парадку n уключна, прычым

1) сістэма раўнанняў

(5)


вырашальна адносна C1, C2, ... , Cn , таму існуе сістэма раўнанняў

(6)


2)ва ўсіх пунктах (x, y, y, …, y(n–1)) абсягу D сістэма (6) вызначае значэнні C1, C2, ... , Cn (уключаючы ), пры якіх функцыя (4) з'яўляецца рашэннем ЗДР (2).

Аналагічна азначэнням § 6 разглядаюцца пункты

(x0, y0, , …, )  D

і уводзяцца азначэнні пункта існавання і пункта адзінасці рашэння ЗДР (2).


Азначэнне. Рашэнне ЗДР (2) называецца калі кожны яго пункт з'яўляецца пунктам адзінасці рашэння ЗДР (2).

Азначэнне. Рашэнне ЗДР (2) называецца калі кожны яго пункт з'яўляецца пунктам неадзінасці рашэння ЗДР (2).
Азначэнне. Агульным інтэгралам ЗДР (2) называецца судачыненне выгляду (x, y, C1, C2, ... , Cn) = 0, якое няяўна задае агульнае рашэнне ЗДР (2).

Азначэнне. Частковым інтэгралам ЗДР (2) называецца выраз для агульнага інтэграла з канкрэтнымі значэннямі адвольных канстантаў.

§ 16. Дыферэнцыяльныя раўнанні, якія дапускаюць зніжэнне парадку
1º. Раўнанні, якія дапускаюць непасрэднае інтэграванне

Разгледзім ЗДР n-га парадку выгляду

(1)
Правая частка залежыць толькі ад зменнай x.

Каб знайсці агульнае рашэнне, трэба толькі праінтэграваць n разоў.



Прыклад 1.

Маем


2º. Раўнанні, якія не ўтрымліваюць яўна шукаемую функцыю

Разгледзім ЗДР другога парадку агульнага выгляду

(2)

Парадак раўнання можна знізіць падстаноўкай


дзе z(x) — новая шукаемая функцыя.

Паколькі y = z, пасля падстаноўкі маем



F(x, z, z) = 0.

Гэта раўнанне першага парадку і трэба знайсці агульнае рашэнне



z (xC1).

Потым падстаноўка y(x) = z(x) разглядаецца як раўнанне



y(x) = (xC1),

і знаходзіцца агульнае рашэнне раўнання (2).

Аналагічна, парадак ЗДР выгляду

можна знізіць падстаноўкай




Прыклад 2.

Падстаноўка y(x) = z(x), таму y = z і маем раўнанне

але (!) z = 0 — рашэнне, таму C1 = 0 дадаем.

Будуем новае раўнанне

Непасрэдным інтэграванне атрымліваем агульнае рашэнне

3º. Раўнанні, якія не ўтрымліваюць яўна незалежную зменную

Разгледзім ЗДР другога парадку агульнага выгляду

(3)
Парадак раўнання можна знізіць падстаноўкай

дзе z(y) — новая шукаемая функцыя.

Знаходзіцца выгляд для

Пасля падстаноўкі маем



F(y, z, zz) = 0.

Гэта раўнанне першага парадку, дзе y незалежная зменная, а z — шукаемая функцыя. Знаходзіцца яго агульнае рашэнне



z (yC1),

і з падстаноўкі будуецца новае раўнанне



y = (y, C1),

з якога знаходзіцца агульнае рашэнне зыходнага раўнання.


Аналагічна можна знізіць на адзінку парадак раўнанняў выгляду


Прыклад 3.

Выкарыстоўваем замену



y = z(y), y = zz :

але (!) z = 0 — рашэнне, таму дадаем C1 = 0.


z = C1y,

Вяртаемся да зменай y

але (!)y = 0 — рашэнне, таму C2 = 0 дадаем.
Вынік:

§ 17. Уводзіны ў лінейныя дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
1º. Асноўныя паняцці

Азначэнне. Лінейным дыферэнцыяльнам раўнаннем n–га парадку называецца раўнанне выгляду
(1)
Функцыі-каэфіцыенты p1(x), p2(x), … , pn(x) і свободны член f(x) звычайна лічаць непарыўнымі на некаторым прамежку IR.
Калі параўноўваць раўнанне выгляду (1) з раўнаннем, якоя вырашана адносна старшай вытворнай

y(n) = f(x, y, y, …, y(n–1)),

то ў апошнім раўнанні правая частка павінна мець спецыяльны выгляд, і частка членаў перанесена ўлева.


Калі да раўнання (1) дадаць пачатковыя ўмовы

y(x0) = y0

y( x0) = (2)



y(n – 1)( x0) =


то можна разглядаць задачу Кашы (1), (2).

Азначэнне. Калі ў раўнанні (1) правая частка няроўна нулю тоесна (f(x)  0), тады раўнанне (1) называецца


Азначэнне. Калі ў раўнанні (1) правая частка роўна нулю тоесна (f(x)  0), тады раўнанне (1) называецца

Па азначэнні ЛАДР n–га парадку мае выгляд



y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y = 0. (3)
2º. Тэарэма існавання і адзінасці рашэнняў
Тэарэма. Калі функцыі p1(x), p2(x), … , pn(x), f(x) непарыўныя на адрэзку

I = [a, b], тады для адвольных пачатковых ўмоў (2), дзе x0  [a, b], існуе адзінае рашэнне задачы Кашы (1), (2).

Доказ абапіраецца на тэарэму § 15.

Раўнанне (1) прыводзім да выгляду



y(n) = f(x, y, y, …, y(n–1))

і атрымліваем

(4)

Правяраем умовы тэарэмы § 15.



Функцыя (4) непарыўная па ўсіх аргументах.

Частковыя вытворныя функцыі (4) роўныя


і з'яўляюцца непарыўнымі функцыямі, таму і абмежаванымі.

Такім чынам, умовы тэарэмы § 15 выконваюцца і задача Кашы (1), (2) мае адзінае рашэнне на некаторым прамежку па x.
3º. Аператарны падыход

Лічым, што ўмовы папярэдняй тэарэмы выконваюцца.

Часта выраз у левай частцы дыферэнцыяльных раўнанняў (1), (3) абазначаюць праз

y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y (5)
і разглядаюць як аператар, які вызначаны на мностве функцый y, непарыўна дыферэнцавальных n разоў на адрэзку [a, b].

Аператар L кожнай функцыі y  С(n)[ab] ставіць у адпаведнасць непарыўную функцыю, якая вылічваецца па формуле (5).

З дапамогай аператарных абазначэнняў можна коратка запісаць ЛНДР (1)

(1)


і ЛАДР (3)

(3)
Разгледзім уласцівасці аператара L.



Аднароднасць. Аднароднасць — гэта выкананне роўнасці
(6)
Лёгка праверыць, што для аператара (5) роўнасць (6) выконваецца.

Аператар L з'яўляецца аднародным.


Адытыўнасць. Адытыўнасць — гэта выкананне роўнасці
(7)
Лёгка праверыць, што для аператара (5) роўнасць (7) выконваецца.

Аператар L з'яўляецца адытыўным.


Лінейнасць. Лінейнасць гэта аднароднасць і адытыўнасць адначасова.
Аператар L з'яўляецца лінейным (мае ўласцівасць лінейнасці).
Лінейнасць аператараў вызначаюць таксама пераўтварэннем лінейных камбінацый выгляду

,

дзе C1, C2, … , CmR,



y1, y2, … , ym  С(n)[ab].
Лінейнасць. Значэнне аператара ад лінейнай камбінацыі роўная лінейнай камбінацыі значэнняў

. (8)

дзе C1, C2, … , CmR,



y1, y2, … , ym  С(n)[ab].
Лёгка праверыць, што для аператара (5) роўнасць (8) выконваецца.
§ 18. Уласцівасці ЛАДР n–га парадку
1º. Прастора рашэнняў ЛАДР

Будзем разглядаць ЛАДР n–га парадку



L(y) = 0 (1)

з непарыўнымі каэфіцыентамі і свабодным членам.

Звярнёмся да ўласцівасці лінейнасці аператара L.

Няхай y1, y2  С(n)[ab] — два рашэнні ЛАДР (1).

Тады з § 17 вынікае, што:
1) Аднароднасць
2) Адытыўнасць
3) Лінейнасць
Болей за гэта, карыстаючыся формулай

проста даказаць наступняе сцвярджэнне.

Тэарэма 1. Калі функцыі y1, y2, … , ym з'яўляюцца рашэннямі ЛАДР (1), тады лінейная камбінацыя

дзе C1, C2, … , CmR, таксама рашэнне ЛАДР (1).


Вынік.'>Вынік. Мноства рашэнняў ЛАДР (1) з'яўляецца лінейнай прасторай.
2º. Лінейна залежнасць і незалежнасць сістэмы функцый

Для апісання прасторы рашэнняў ЛАДР (1) нам спатрэбіцца



Азначэнне. Сістэма (набор) функцый u1(x), u2(x), … , um(x) называецца лінейна залежнай на адрэзку [ab], калі для  x  [ab] адна з функцый з'яўляецца лінейнай камбінацыяй астатніх.
Лінейная залежнасць сістэмы функцый u1(x), u2(x), … , um(x) азначае, што існуюць такія лікі 1, 2, ... , m, з якіх хаця б адзін ня роўны нулю, такія, што на адрэзку [ab] выконваецца роўнасць

(2)
Зразумела, калі адна з функцый сістэмы з'яўляецца нулявой (  0 на адрэзку [ab]), то сістэма функцый будзе лінейна залежнай.


Азначэнне. Калі тоеснасць (2) выконваецца на адрэзку [ab] толькі ў выпадку, калі ўсе k , k = 1, 2, …, m, роўныя нулю, тады сістэма функцый u1(x), u2(x), … , um(x) называецца лінейна незалежнай на адрэзку [ab].
Прыклад 1. Сістэма функцый лінейна незалежная на любым адрэзку.

Сапраўды, судачыненне тыпу (2) для дадзенай сістэмы функцый мае выгляд


На любым адрэзку судачыненне не можа выконвацца тоесна, калі не ўсе k , k = 1, 2, …, m, роўныя нулю, паколькі гэта мнагасклад ступені не вышэй за m, які не можа мець больш за m розных каранёў.


Тэарэма 2 (неабходная ўмова лінейнай залежнасці). Калі функцыі

u1(x), u2(x), … , um(x), якія вызначаны на адрэзку [ab] і маюць вытворныя да парадку (m – 1) уключна, складаюць лінейна залежную сістэму функцый на адрэзку [ab], тады на адрэзку [ab] тоесна роўны нулю дэтэрмінант

 0  x  [ab].


Доказ тэарэмы. Паколькі сістэма функцый u1(x), u2(x), … , um(x) — лінейна залежная, існуюць такія лікі 1, 2, ... , m (не ўсе роўныя нулю), для якіх на адрэзку [ab] выконваецца роўнасць

1u1(x) + 2u2(x) + … + mum(x) = 0. (2)

Дыферэнцыруем роўнасць (2) (m – 1) разоў і атрымліваем сістэму раўнанняў

Для кожнага x  [ab] гэта алгебраічная сістэма мае нетрывіяльнае рашэнне

1, 2, ... , m.

Г.зн. дэтэрмінант алгебраічнай сістэмы роўны нулю для  x  [ab].



Тэарэма даказана.
Азначэнне. Дэтэрмінант выгляду

W(x)  W[u1, u2, … , um] 


называецца
Вынік (дастатковая ўмова лінейнай незалежнасці). Калі дэтэрмінант Вронскага сістэмы функцый u1, u2, … , um няроўны нулю хаця б у адным пункце адрэзку [ab], сістэма функцый з'яўляецца лінейна незалежнай.
Прыклад 2. Дакажам ізноў, што на любым адрэзку сістэма функцый

1, x, x2, ... , xm лінейна незалежная.



Пакажам, што W[1, x, x2, ... , xm]  0.
W[1, x, x2, ... , xm] = =



: Matherials -> Mathem -> %D0%93%D1%83%D0%BB%D0%BE%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> 3%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81 -> 6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> Канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта § Уводзіны 1º. Месца дысцыпліны ў матэматыцы
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> Задача аб вольных і вымушаных ваганнях Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны
%D0%93%D1%83%D0%BB%D0%BE%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> Iндывiдуальныя заданнi па тэме «Функцыi некалькiх зменных» для самастойнай работы студэнтау
%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> Задача Кашы. Задачы, якія прыводзяць да паняцця дыферэнцыяльнага раўнання
%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> 2. Праверыць, ці з’яўляецца функцыя рашэннем (калі да, то якім) адпаведнага дыфферэнцыяльнага ўраўнення 3
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> Пакажам, што функцыі для розных сапраўдных лікаў




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка