§ Кананічны рэпер. Формулы Фрэнэ Кананічны рэпер



Дата канвертавання27.07.2016
Памер48.63 Kb.



Лініі ў еўклідавай прасторы





§ 6. Кананічны рэпер. Формулы Фрэнэ
1. Кананічны рэпер. Няхай – гладкая класа бірэгулярная лінія, – яе натуральная параметрызацыя.

Вектар з’яўляецца адзінкавым вектарам датычнай да лініі у пункце .

Вектар / – з’яўляецца адзінкавым і называецца вектарам галоўнай нармалі да лініі у пункце .

Вектар галоўнай нармалі перпендыкулярны вектару датычнай . Гэта вынікае з таго, што вектар датычнай =.

Сапраўды, паколькі – адзінкавы вектар, то іх скалярны здабытак роўны адзінцы: . Прадэферэнцыруем гэту роў-насць. Тады , , а значыць, .

Разгледзім вектар . Вектар з’яўляецца адзінкавым вектарам і называецца вектарам бінармалі да лініі у пункце .

Такім чынам, у кожным пункце вызначаецца сістэма каардынат . Гэта сісстэма каардынат называеца кананічным рэперам лініі у пункце (рыс 7).

Каардынатныя прамыя і каардынатныя плоскасці кананічнага рэпера маюць спецыяльныя назвы:



Рыс. 7

1) Датычная прамая. Прамая, якая праходзіць праз пункт і для якой накіроўваючым вектарам з’яўляецца вектар , называецца датычнай да лініі у пункце .

2) Галоўная нармаль. Прамая, якая праходзіць праз пункт і мае ў якасці накіроўваючага вектара вектар галоўнай нармалі , называецца галоўнай нармаллю лініі у пункце.

3) Бінармаль.Прамая, якая праходзіць праз пункт і яе накіроўваючым вектарам з’яўляецца вектар бінармілі , называецца бінармаллю лініі у пункце .

4) Судатыкальная плоскасць. Плоскасць, якая праходзіць праз пункт і паралельная вектарам і , называецца судатыкальнай плоскасцю да лніі у пункце.

5) Нармальная плоскасць.Плоскасць, якая праходзіць праз пункт і паралельная вектарам і называецца нармальнай плоскасцю да лініі у пункце.

6) Выпрастальная плоскасць. Плоскасць, якая праходзіць праз пункт і паралельная вектарам і называецца выпрастальнай плоскасцю.

П р а к т ы к а в а н н е. Напішыце ўраўненне бінармалі да лініі: ,, , .



2. Формулы Фрэнэ. Няхай гладкая лінія, – яе натуральная параметрызацыя. Будзем лічыць, што крывізна лініі ў кожным пункце няроўная нулю. Формуламі Фрэнэ называюцца разлажэнні па базісу Фрэнэ вытворных вектароў гэтага базіса.

Знойдзем разлажэнне вектараў , , па вектарах , , кананічнага рэпера. Перш за ўсё можам запісаць з улікам азначэння вектара крывізны, што



(1).

Паколькі вектар адзінкавы вектар, то . Адсюль выні-кае, што вектар паралельны выпрастальнай плоскасці. Значыць вектар можна раскласці па вектарах і . Можам запісаць = (2).

Знойдзем каэфіцыент . Прадэферэнцыруем роўнасць , тады атрымаем . Адсюль з улікам формул (1) і (2) атрымліваем + = 0, альбо . Такім чынам, = (3)

Цяпер высветлім, што ўяўляе сабой каэфіцыент .

Разгледзім роўнасць . Прадыферэнцыруем гэту роўнасць

. З улікам формул (1) і (2) атрымліваем, што . Такім, чынам, = .

Пры гэтым зразумела, што .

Канчаткова формулы Фрэнэ маюць выгляд:

,



.

§ 7. Кручэнне лініі. Формула для знаходжання

кручэння лініі

1. Кручэнне лініі. Разгледзім яшчэ адну лакальную характэрыстыку лініі, якая называецца кручэннем.

Згодна формулам Фрэнэ . Каэфіцыент называецца кручэннем лініі у пункце .

Зразумела, што . З папярэдней роўнасці вынікае, што:

1) кручэнне больш нуля, калі і процілегла накіраваныя;

2) кручэнне менш нуля, калі вектары і аднолькава накіраваныя.

Геаметрычны сэнс кручэння вынікае з роўнасці : кручэнне лініі ёсць хуткасць вярчэння бінармалі да лініі (альбо хуткасць вярчэння судатыкальнай плоскасці).

Т э а р э м а 1. Няхай – гладкая лінія, крывізна якой не роўная нулю, – натуральная параметрызацыя лініі. Тады кручэнне лініі можна знайсці па формуле

= .

Д о к а з .



, , = (.

Можна паказаць (пакажыце самастойна) , што



. Адсюль вынікае неабходная формула.

Т э а р э м а 2 Няхай – гладкая лінія. Для таго, каб лінія была плоскай, неабходна і дастаткова, каб кручэнне лініі ў кож-ным пункце раўнялася нулю.

Д о к а з.

Неабходнасць. Няхай – плоская лінія. Разледзім сістэму каар-дынат такую, што плоскасць , у якой размешчана лінія супалае з плоскасцю .

Тады можам запісаць , ,



. Адсюль вынікае, што вектары

,, кампланарныя. Значыць, іх змешаны здабытак роўны нулю і = = 0.

Дастатковасць. Няхай кручэнне лініі ў кожным пункце роўнае нулю. Згодна формулам Фрэнэ . Паколькі ,то . Адсюль вынікае, што вектар – пастаянны. Вектар – вектар бінармалі , а значыць,. Адсюль вынікае, што , альбо . Значыць, . Такім чынам, атрымліваем , а значыць, лінія ляжыць у плоскасці .

П р а к т ы к а в а н н е.

1) Чаму судатыкальная плоскасць плоскай лініі супадае з плоскасцю лініі, у якой яна ляжыць?
2) Чаму галоўная нармаль плоскай лініі ляжыць у плоскасці лініі?
2. Знаходжанне крывізны і кручэння лініі, дадзенай у адволь-най параметрызацыі.

Няхай – адвольная параметрызацыя гладкай класа , рэгулярнай лініі . Выведзем формулы для вылічэння крывізны і кручэння лініі у адвольнай параметрызацыі. Крывізну і кручэнне лініі ў адвольнай параметрызацыі можна знаходзіць па формулах


(1), (2).
Дакажам першую формулу. Няхай – натуральная параметрызацыя лініі . Тады можам запісаць, што

і .

Улічваючы гэтыя роўнасці, атрымліваем



альбо

= . Адсюль вынікае, што . Такім чынам,

Формулу (2) дакажыце самастойна.









База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка