Аналітычная геаметрыя на плоскасці I. Элементы вектарнай алгебры



Дата канвертавання28.06.2016
Памер89.85 Kb.


АНАЛІТЫЧНАЯ ГЕАМЕТРЫЯ

НА

ПЛОСКАСЦІ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТАРНАЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Накіраваныя адрэзкі. Вектары.

Паняцце вектара адносіцца да аднаго з важных матэматычных паняццяў.



1. Накіраваныя адрэзкі.

А з н а ч э н н е. Адрэзак называецца накіраваным, калі вызна-чаны парадак задання яго канцоў. Калі – першы пункт (пачатак), – другі пункт, тады накіраваны адрэзак абазначаецца , калі – першы пункт, другі пункт, тады адрэзак абазначаецца .


Рыс. 1 Рыс. 2 Рыс. 3

На рысунку накіраваны адрэзака паказваецца стрэлкай, накіраванай да яго канцавога пункта. Напрыклад, на рысунку 1 паказаны накіраваныя адрэзкі і .

Накіраваны адрэзак, пачатак і канец якога супадаюць, называецца нулявым і абазначаецца , і т. д.

А з н а ч э н н е. Даўжынёй накіраванага адрэзка называецца даўжыня адрэзка . Даўжыня накіраванага адрэзка абазначаецца .

Даўжыня нулявога адрэзка лічыцца роўнай нулю.

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкі і называюцца аднолькава накіраванымі, калі прамені і аднолькава накіраваныя.

Аднолькава накіраваныя адрэзкі і (рыс. 2) абазначаюцца .

Нулявы накіраваны адрэзак лічыцца аднолькава накіраваным з любым накіраваным адрэзкам.

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкі і называюцца процілегла накіраванымі, калі прамені і процілегла накіраваныя .

Процілегла накіраваныя адрэзкі і (рыс. 3) абазначаюцца .

З а ў в а г а. Калі прамыя і супадаюць тады накіраваныя адрэзкі і называюцца аднолькава накіра-ванымі (процілегла накіраванымі, калі перасячэнне праменяў і ёсць прамень ( адрэзак, пункт або пустое мноства).

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкіі назваюцца эквівалентнымі, калі яны аднолькава накіраваныя і маюць роўныя даўжыні. Эквівалентныя адрэзкі абазначаюцца .

Такім чынам, тады і толькі тады, калі і



=.

Прыклад 1. Няхай – паралелаграм, тады накіраваныя адрэзкі і эквівалентныя і (рыс. 4).

П ы т а н н і: 1) Растлумачце , чыму накіраваныя адрэзкі і не з’яўляюцца эквівалентнымі ? (рыс. 4).

2) Ці з’яляюцца эквівалентнымі накіраваныя адрэзкі: і ; і ? (рыс. 4).

3) Прывядзіце прыклад эквівалентных накіраваных адрэзкаў.



Рыс. 4. Рыс. 5 Рыс. 6

Прыклад 2. Няхай – паралелепіпед. Тады і эквівалентныя накіраваныя адрэзкі.

П ы т а н н і: 1) Растлумачце, чыму накіраваныя адрэзкі і з’яўляюцца эквівалентнымі? (рыс. 5).

2) Ці з’яляюцца эквівалентнымі накіраваныя адрэзкі: і ;

і (рыс. 5).

3) Прывядзіце прыклад эквівалентных накіраваных адрэзкаў.

Т э а р э м а (прымета эквівалентнасці накіраваных адрэзкаў). Для таго каб накіраваныя адрэзкі і былі эквівалентнымі неабходна і дастаткова каб пункт быў сярэдзінай адрэзкаў і .

Д о к а з. Неабходнасць. Няхай . (рыс. 6). Тады чатырохвугольнік паралелаграм, а у паралелаграме дыяганалі пунктам пересячэння дзеляцца папалам.



Дастатковасць. Няхай дзеліць кожны з адрэзкаў і . Адсюль вынікае, што – паралелаграм. А значыць, і альбо .

Няхай – мноства накіравных адрэзкаў на плоскасці ( або ў прасторы).

Т э а р э м а. Адносіна эквівалентнасці накіраваных адрэзкаў мае наступные ўласцівасці: 1) Любы накіраваны адрэзак эквівалентны сам сабе: ;

2) Калі , то .

3) Калі і , то .

З гэтай тэарэмы вынікае, што мноства ўсіх накіраваных адрэзкаў разбіваецца на падмноствы (класы) эквівалентных накіраваных. Гэтыя класы ( мноствы) паміж сабой не перасякаюцца. Кожны такі клас называецца свабодным вектарам ( альбо вектарам).



2. Вектары.

А з н а ч э н н е. Вектарам называецца класс накіраваных адрэзкаў эквівалентных накіраванаму адрэзку .

Вектар можа абазначацца таксама так: і т. д.

На рысунку вектар паказваецца ў выглядзе любога накіраванага адрэзка, якія вызначаюць гэты вектар.

А з н а ч э н н е. Клас усіх нулявых накіраваных адрэзкаў называецца нулявым вектарам і абазначаецца .

А з н а ч э н н е. Даўжынёй вектара называецца даўжыня адрэзка : .

Даўжыня нулявого вектара лічыцца роўнай нулю: .

А з н а ч э н н е. Вектары і называются роўнымі, калі яны супадаюць як класы эквівалентных накіраваных адрэзкаў.

Т э а р э м а 1. Калі тады .

Дакажыце самастойна.

Т э а р э м а ( аб адкладванні вектара ад пункта). Для любога вектара існуе адзіны пункт такі, што .

Д о к а з. Дакажам існаванне пункта . Няхай – адвольны пункт, – адвольны вектар. Возмем такі адрэзак , што . Няхай пункт – сярэдзіна адрэзка , а пункт – пункт сіметрычны пункту адносна пункта . Тады адрэзкі і эквівалентныя, а значыць, (рыс. 7).

Рыс. 7


Дакажам адзинасць пункта . Дапусцім, што існуе яшчэ адзін пункт такі, што . Тады . Па тэарэме 1 атрымліваем, што , значыць . Тэарэма даказана.

А з н а ч э н н е. Вектары і называюцца аднолькава накіраванымі (процілегла накіраванымі), калі аднолькава накіраваныя (процілегла накіраваныя) адрэзкі і .

Напрыклад, калі – паралелаграм, – пункт перасячэння яго дыяганалей, тады вектары і аднолькава накіраваныя (рыс. 4).

А з н а ч э н н е. Няхай дадзен вектар , тады вектар называецца процілеглым вектару і абазначаецца .

Напрыклад, няхай – паралелепіпед, тады вектар процілеглы вектару (рыс. 5).

А з н а ч э н н е. Вектары і называюцца калінеарнымі (абазначаецца||), калі прамыя і паралельныя, альбо супадаюць.

Напрыклад, калі– паралелограм, – пункт перасячэння яго дыяганалей, тады калінеарнымі з’ўляюцца вектары: і ;

і .

А з н а ч э н н е. Вектары называются кампланарнымі, калі адпаведныя накіраваная адрэзкі паралельныя адной плоскасці, ці ляжаць у адной плоскасці.

Напрыклад, вектары , і кампланарныя (рыс. 5).

П ы т а н н і: 1) – паралелепіпед (рыс. 5).Ці з’яўляюцца вектары і роўнымі?; 2) Назавіце вектар, які процілеглы вектару ; 3) Прывядзіце прыклад кампланарных вектараў.



§ 2. Сума і рознасць вектараў
1. Сума вектараў.

А з н а ч э н н е. Няхай дадзены два адвольных вектары і . Ад некаторага пункта адкладзем вектар Няхай . Ад пункта адкладзём вектар : . Тады сумай вектараў і называецца вектар . Сума вектароў і абазначаецца



.

Заўвага. Калі вектары і некалінарныя, тады разглядаецца трохвугольнік , таму гэта правіла называецца правілам трохвугольніка.



Рыс. 8 Рыс. 9 Рыс. 10


Згодна гэтаму правілу для любых трох пунктаў выконваецца роўнасць .

Можна даказаць, што сумма вектароў не залежыць ад выбару пункта і адпаведных накіраваных адрэзкаў..

Дакажам гэта. Возьмем два пункты і . Няхай , і , . Тады атрымліваем і . Адсюль вынікае (тэарэма 1) , што = і . Значыць = . Па тэарэме 1 атрымліваем (рыс. 9). Што і трэба было даказаць.

Напрыклад, няхай трохвугольная піраміда, пункт ляжыць на канце , тады .

Т э а р э м а ( уласцівасці сумы вектараў). Для любых вектараў , і выконваюцца наступныя роўнасці:

1) ( перамяшчальны закон),

2) (асацыятыўны закон),

3) ,

4) .

Д о к а з.

1) Дакажам, што . Возмем адвольны пункт і адклвдзё ад яго вектары і : і . Ад пункта адкладзём вектар : (рыс. 11).

Рыс. 11 Рыс. 12 Рыс. 13

Тады зразумела, што . Адсюдь вынікае ( Тэарэма 1), што . Па правілу трохвугольніка

, і , . Адсюль вынікае, што .

2) Дакажам, што . Ад адвольнага пункта адкладзём паслядоўна вектары , і : , , (рыс. 12). Па правілу трохвугольніка



= =. Аналагічна з улікам правіла трохвугольніка = . З атрыманых роўнасцей вынікае, што .

3) Дакажам, што . Адкладём вектар ад некаторага пункта : . Тады вектар . Значыць



=.

Уласцівасць 4) дакажыце самастойна.

Можна доказаць, што ўласцівасці 1)-4) выконваюцца і для калінеарных вектароў.
Правіла паралелаграма. З доказу ўласцівасці 2) вынікае, што для знахожання сумы некалінеарных вектараў можна карыстацца наступным правілам ( правіла праралелаграма): Няхай і – некалінеарныя вектары. Адкладзём гэтыя вектары ад некаторага пункта : , . Няхай – паралелаграм, старанамі якого служаць адрэзкі і , тады сумай вектараў і з’яўляецца вектар , г. зн. .

Напрыклад, няхай – паралелепіпед. Тады , (рыс. 13).



Правіла ломанай (многавугольніка) Для знаходжання сумы вектараў можна карыстацца правілам ломанай, якое з’яўляецца абагульненнем правіла трохвугольніка: для таго каб знайсці суму

вектараў, трэба ад адвольнага пункта адкласці вектар , потым ад пункта адкласці вектар і так далей . Тады вектар буде сумай вектараў .

Аналагічна папярэднему можна паказаць, што сума вектараў не залежвць ад парадку складнікаў.

Згодна правілу ломанай, калі – адвольныя пункты, тады .

Напрыклад, калі – некаторы шасцівугольнік, тады



(рыс. 14).

Рыс. 14 Рыс.15 Рис. 16

Няхай – адвольная чатырохвугольная прызма Тады сума вектараў , , и ёсць вектар . Паколькі , то

= = .



2. Рознасць вектараў.

А з н а ч э н н е. Рознасцю вектараў і узятых у дадзеным парадку называцца вектар такі, што.

Рознасць вектараў і абазначаецца .

Т э а р э м а. Для любых вектараў і іх рознасць існуе і вызначаецца адназначна.

Д о к а з. Дакажам існаванне рознасці. Разгледзім вектар

. Тады = = .

Няхай , . Тады (рыс. 17)


Рыс. 17 Рыс. 18 Рыс. 19


Дакажам, што такі вектар адзіны. Няхай вектар яшчэ адна рознасць вектараў і : . Тады выконваецца роўнасць

альбо . Адсюль атрымліваем, што . Што і трэба было даказаць.

Напрыклад, няхай – паралелограмм, – пункт перасяэння яго дяганалей., тады , =

=(рыс. 18).

Няхай – трохвугольная піраміда, – пункт пероасячэння медыян грані , тады , (рыс. 19).





: Matherials -> Mathem -> %D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> %D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> %D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(1%20%D1%81%D0%B5%D0%BC)
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> Дыферэнцыяльная геаметрыя глава Лініі ў еўклідавай прасторы
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> § Паняцце лініі. Гладкая лінія. Элементарная лінія. Лінія
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> Лініі ў ЕЎклідавай прасторы § Вектар-функцыя двух скалярных аргументаў Вектар-функцыя двух скалярных аогументаў
%D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(1%20%D1%81%D0%B5%D0%BC) -> § Множанне вектара на лік
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> Заданне 1 Тапалагичная прастора. Адкрытыя і замкнутыя мноствы
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> § Кананічны рэпер. Формулы Фрэнэ Кананічны рэпер
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> Заданне 7 Датычная плоскасць і нармаль да паверхні. Першая квадратычная форма паверхні
%D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> Заданне 10 Лініі і паверхні ў трохмернай прасторы




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка