Асноўная тэарэма об лінейнай залежнасці Тэарэма



Дата канвертавання27.07.2016
Памер15.46 Kb.
Асноўная тэарэма об лінейнай залежнасці

Тэарэма: Калі большая сістэма вектароў лінейна выражаецца праз меньшую, то большая сістэма – лінейна залежна.
Доказ.

Няхай


і

– дзве сістэмы вектароў вектарнай прасторы V, і сістэма (1) лінейна выражаецца праз сістэму (2). Пераканаемся, што сістэма (1) лінейна залежна.

Прыменім індукцыю па колькасці вектароў m сістэмы (2).

Няхай m=1. Тады s>1 і



Калі , то і сістэма (1) лінейна залежна, як кожная сістэма вектароў, якая змяшчае нулявы вектар.

Няхай . Тады

і

.

Мы бачым, што адзін з вектароў сістэмы (1) лінейна выражаецца праз другі вектар гэтай сістэмы. Таму сістэма (1) – лінейна залежна.

Няхай тэарэма ужо даказана для m=k. Пераканаемся, што тады яна верна і для m=k+1.

Па умове s>k+1 і

(3)

Калі , то з (3) вынікае, што сістэма (1) лінейна выражаецца праз сістэму , якая змяшчае k вектароў. І тады па дапушчэнню індукцыі можна сцвярджаць, што сістэма (1) лінейна залежна.

Няхай сярод не ўсе каэфіцыенты роўны нулю. Напрыклад, няхай . Адымая з усіх роўнасцей (3), пачыная з другога, першую роўнасть, памножанную на адпаведна, атрымаем такую сістэму роўнасцей:

(4)

З (4) вынікае, што сістэма вектароў



(5)

лінейна выражаецца праз сістэму вектароў



(6)

сістэма (5) змяшчае s-1 вектар, а сістэма (6) – k вектароў. Паколькі s>k+1, то s-1>k і па дапушчэнню індукцыі сістэма (5) лінейна залежна.

Нахай, напрыклад, лінейна выражаецца праз вектара . Тады, відавочна, будзе лінейна выражацца праз , так што сістэма (1) – лінейна залежная.

Гэтым завяршаецца доказ тэарэмы.



Дацэнт Мілаванаў М.В.


: Matherials -> Mathem -> %D0%9C%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%20%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B8%D0%BB%20%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> %D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> 4.%20%D0%A3%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0
4.%20%D0%A3%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0 -> Дапаможны матэрыял па геаметрыі №4
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Пытанні да экзамена па геаметрыі 2 курс 2 семестр 2004 – 2005 н г
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Да экзамена па геаметрыі 2 семестр 2007-2008 н г
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Пытанні да экзамена па геаметрыі
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> План практычных заняткаў па геаметрыі на першы семестр матэматычнага факультэта
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Пытанні да заліку па геаметрыі 2 курс, 1 семестр 2004 – 2005 н г
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Дадатковыя матэрыялы 2 курс з/а 2007 – 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў
4.%20%D0%A3%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0 -> Дапаможны матэрыял па геаметрыі №1
4.%20%D0%A3%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0 -> Дапаможны матэрыял па геаметрыі №2
4.%20%D0%A3%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0 -> Дапаможны матэрыял па геаметрыі №3




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка