Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка1/16
Дата канвертавання19.07.2016
Памер1.75 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
    1. Прадмова


Дадзены вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам-завочнікам матэматычнага факультэта для арганізацыі самастойнай працы і падрыхтоўкі да заліку і экзамену. У ім змешчаны тэарэтычны выклад раздзела матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” і шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” і “Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне функцыі многіх зменных”, узоры рашэння нулявога варыянта, пытанні да экзамену, спіс рэкамендаванай літаратуры.

Змест дапаможніка адпавядае праграме курса матэматычнага аналізу.

У дапаможніку выкарыстаны распаўсюджаныя сімвалы матэматычнай логікі і лагічныя аператары ?? ?? ?, ?? ?, ??

Для зручнасці карыстання тэкст, якім распачынаецца і завяршаецца доказ тэарэм, паказаны значкамі ? і? адпаведна.






  1. §1. Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


Вядома, што адлегласць паміж двума пунктамі М1(х1,y1) і М2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле

і мае ўласцівасці:

1) ?(M1,M2)? 0; ?(M1,M2) = 0 ? M1 = M2;

2) ?(M1,M2) = ?(M2,M1);

3)?(M1,M2) ? ?(M1,M3) + ?(M2,M3) (няроўнасць трохвугольніка).

Нагадаем, што калі маюцца два непустыя мноствы X і Y, то іх дэкартавым здабыткам X?Y называецца мноства усіх упарадкаваных пар . У прыватнасці X? Х абазначаецца X2.

Абагульнім паняцце адлегласці на любое мноства з дапамогаю паняцця дэкартавага здабытку двух мностваў: .

Азначэнне 1.1. Няхай Х – некаторае непустое мноства любой прыроды. Разгледзім дэкартавы здабытак.

Метрыкай на мностве Х называецца сапраўдная функцыя ?, якая азначана на здабытку Х ? Х і ?x, y, z?X задавальняе наступныя умовы:

1) ?(x,y)?0; ?(x,y)=0 ? x = y;

2) ?(x,y) = ?(y,x);

3) ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(y,z) (няроўнасць трохвугольніка).

Значэнне функцыі ? у пункце (x,y) , г.зн. лік ?(x,y), называецца адлегласцю паміж пунктамі x i y. Умовы 1-3 называюцца аксіёмамі мeтрыкі.

Азначэнне 1.2. Мноства Х з метрыкай ? на гэтым мностве, г.з. пара (Х, ?), называецца метрычнай прасторай .

Элементы мноства Х называюцца элементамі або пунктамі метрычнай прасторы (Х, ?).

Няхай дадзена метрычная прастора (Х,?) і няхай М?Х,?м(x,y)=?(x,y). Відавочна, што і прастора ( М, ?м ) у гэтым выпадку будзе метрычнай прасторай, паколькі М ? М ? Х ? Х.

Прастора (М, ?м) называецца падпрасторай метрычнай прасторы ( Х, ? ).



Заўвага. Увядзенне паняцця адлегласці паміж пунктамі метрычнай прасторы мае вялікае значэнне ў матэматыцы. Яно дазваляе разглядзець важныя пытанні аб лімітавым пераходзе, непарыўнасці і дыферэнцавальнасці адлюстраванняў і г.д. у розных па прыродзе прасторах.

Прыклады метрычных прастораў

Прыклад 1.1. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,y?R увядзём функцыю ?(x,y) = ?х? у? (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя ? задавальняе аксіёме 3

? x,y,z?R :

Пара (R, ?), дзе ? азначана роўнасцю (1.1) – метрычная прастора. Яе абазначаюць R або R1.



Прыклад 1.2. Мноства М=[a,b] з метрыкай ?(x,y) = ?х? у??x,y?[a,b] абазначаюць Х = ([a,b], ?). Х – падпрастора метрычнай прасторы R , паколькі [a,b]? R .

Прыклад 1.3. Мноства рацыянальных лікаў Q з метрыкай, якая азначана формулай (1.1) для ўсіх x, y ?Q, з’яўляецца метрычнай прасторай. Прастора

Х = (Q,?) – падпрастора метрычнай прасторы R і абазначаецца праз Q.

Прыклад 1.4. Абазначым праз Rm мноства ўпарадкаваных сукупнасцей m сапраўдных лікаў . Элементы мноства Rm называюцца пунктамі ці вектарамі і абазначаюцца адной літарай х = (х12,…, хm), y =(y1,y2 ,…, ym). Лікі х1, х2 ,…, хm – каардынаты пункта х. Элементы х і у супадаюць, г.зн. х = у, тады і толькі тады, калі х1 = у1, х2 = у2, …, хm = уm.

На мностве Rm увядзём функцыю ? (x,y):





(1.2)

Пакажам, што мноства Rm з метрыкай (1.2) з’яўляецца метрычнай прасторай. Яно абазначаецца тым жа сімвалам Rm, што і мноства яго элементаў.

Функцыя ? задавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Для таго, каб паказаць, што функцыя задавальняе аксіёме 3, дакажам дзве лемы.



Лема 1.1. Для любых сапраўдных лікаў ak , bk, k=1,2,,m, мае месца няроўнасць Кашы-Бунякоўскага:



(1.3)




?Разгледзім функцыю

Паколькі квадратны трохсклад неадмоўны, то дыскрымінант недадатны:



?

Лема 1.2. Для любых сапраўдных лікаў ak,bk , дзе k = 1,2,…,m мае месца няроўнасць Мінкоўскага:



(1.4)




?

Пакажам, што для функцыі (1.2) выконваецца аксіёма 3 для любых трох пунктаў х = (х1, х2, …, хm), y = (y1, y2 , …, ym), z = (z1, z2, …, zm). Абазначым





(1.5)




Падставім у няроўнасць (1.4) абазначэнні з (1.5) і атрымаем



(1.6)




? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?

Прыклад 1.5. Разгледзім таксама мноства Rm , але ? зададзім з дапамогаю формулы



(1.7)




дзе х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym) – адвольныя пункты (вектары) прасторы Rm. Дакажам, што функцыя (1.6) задавальняе аксіёмам метрыкі.

Функцыя ? здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Пакажам, што ? задавальняе аксіёму 3 для любых трох пунктаў



х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym), z = (z1,z2,…, zm) прасторы Rm.

?

? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?

Прыклад 1.6. Разгледзім мноства С[a,b] усіх сапраўдных функцый непарыўных на [a,b]. Для любых дзвюх функцый x(t) i y(t) з гэтага мноства паложым



(1.8)




Роўнасць (1.7) –адлегласць Чабышова паміж функцыямі x(t) і у(t). Пакажам, што функцыя ?(x,y) – метрыка на мностве С[a,b].

Функцыя ? задавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Пакажам, што ? задавальняе аксіёме 3.

?Няхай x, y, z ? С[a,b]. Тады t ?[a,b]. Ацэнім рознасць





?

Прыклад 1.7. Разгледзім l2 – мноства ўсіх лікавых паслядоўнасцей

х1, х2, ..., хn… сапраўдных лікаў, для якіх збягаецца шэраг . Для любых двух элементаў х = х1, х2, ... і у = у1, у2 ... гэтага мноства пакладзем



(1.9)




Паколькі шэраг збежны, то формула (1.9) азначае функцыю для любых х, у?l2. Збежнасць гэтага шэрагу лёгка даказаць з дапамогай прыкметы параўнання шэрагаў, калі ўлічыць збежнасць шэрагаў і і відавочную няроўнасць .

Функцыя ?, заданая формулай (1.9), задавальняе аксіёмы 1 і 2 (відавочна). Дакажам, што яна задавальняе і аксіёме 3.

?Калі перайсці ў няроўнасці (1.6) да ліміту пры m??, то для любых трох элементаў x, y, z мноства l2 мае месца няроўнасць

? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?


  1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D0%B0%20%D0%9E%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B0%20%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Задача аб хуткасці прамалінейнага руху. Паняцце вытворнай, механічны сэнс вытворнай
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Інтэграванне функцый некалькіх зменных падвоены інтэграл І яго ўласцівасці. П паняцце падвоенага інтэграла
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Нявызначаны інтэграл. Вызначаны інтэграл
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Элементарныя функцыі
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Вытворная па напрамку. Градыент
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 4 Асноўныя тэарэтычныя звесткі


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка