Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§10. Унармаваныя прасторы



старонка10/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   16

§10. Унармаваныя прасторы

  1. 10.1.Лінейныя прасторы


Паняцце лінейнай прасторы займае важнае месца ў сучаснай матэматыцы. Яно з'яўляецца натуральным абагульненнем звычайнай трохмернай эўклідавай прасторы. У лінейнай прасторы вызначаны дзве алгебраічныя аперацыі: складанне элементаў прасторы і множанне іх на скаляры (лікі), падпарадкаваныя пэўным умовам.

Азначэнне 10.1. Няхай К – поле сапраўдных або камплексных лікаў. Непустое мноства А называецца лінейнай (вектарнай) прасторай над полем К, калі для кожных двух яго элементаў х і у вызначана іх сума х+у?А і для любога ліку ??? вызначаны здабытак ??х ?А так , што гэтыя аперацыі задавальняюць наступным аксіёмам:

1) x + y = y + x, ? x,y? А (закон дыстрыбутыўнасці);

2) (x + y) + z = x + (y + z), ?x,y,z ? А (закон асацыятыўнасці складання);

3) ? ?? А такі, што x + ? = x, ?x? А;

4) ? x? А ? ? x? А такі, што x + (? x) = ?;

5) 1? x = x ?x? А;

6) ?(x + y) = ?x + ?y, ?x? А, ??? К;

7) (? ? ?) х = ?х ? ?х, ?x? А i ???? ? К (6), 7) – законы дыстрыбутыўнасці);

8) (??) x = ?(?x), ?x? А i ????? К (закон асацыятыўнасці множання).

Элементы гэтай прасторы называюць вектарамі. Элемент ? – нулявы элемент, ?х – элемент працілеглы элементу х, элемент x ? y = x + (? y) – рознасць элементаў x i y.

Лінейная прастора над R называецца сапраўднай лінейнай прасторай, а лінейная прастора над полем С камплексных лікаў – камплекснай лінейнай прасторай.

Не будзем спыняться на ўласцівасцях лінейных прастораў. Яны падрабязна вывучаюцца ў курсе лінейнай алгебры. Разгледзім толькі некаторыя прыклады лінейных прастораў, якія скарыстоўваюцца ў курсе матэматычнага аналізу.



Прыклад 10.1. Мноства сапраўдных лікаў R са звычайнымі аперацыямі складання і множання – лінейная прастора і абазначаецца R або R1 .

Прыклад 10.2. Разгледзім мноства Rm розных упарадкаваных сукупнасцей m сапраўдных лікаў. Азначым на ім аперацыі складання і множання:



дзе

x i y ?Rm, ??R.

Гэтыя аперацыі задавальняюць аксіёмы 1–8.

Лёгка правяраецца уласцівасць ? – элемента: ? = (0, 0, ..., 0) і элемента працілеглага элементу х: ? x = (?x1 , ?x2,…, ? xm).

Такім чынам, прастора Rmлінейная прастора ( над полем R ).



Прыклад 10.3. Мноства C[a,b] функцый, вызначаных і непарыўных на адрэзку [a,b] са значэннямі ў R – лінейная прастора (над полем R) са звычайнымі аперацыямі складання лікавых функцый: (x + y)(t) = x(t) + y(t) ? C[a,b] і множання іх на сапраўдныя лікі: (?x)(t) = ?x(t) ? C[a,b].

Прыклад 10.4.Мноства l2 лікавых паслядоўнасцей (xn), для якіх збягаюцца шэрагі - лінейная прастора (над полем R) з аперацыямі складання паслядоўнасцей: (xn) + (yn) = (xn + yn) і множання іх на сапраўдны лікі: ?(xn) = =(?xn). Можна праверыць, што гэтыя аперацыі задавальняюць аксіёмам 1–8.

Ва ўсіх прыкладах аперацыі над элементамі мноства зводзяцца да аперацый над лікамі, таму праўдзівасць аксіём 1–8 відавочна.


    1. 10.2. Лінейныя ўнармаваныя прасторы


У лінейнай прасторы метрыка часцей ўсяго ўводзіцца праз норму, паняцце якой з’яўляецца абагульненнем звычайнай даўжыні вектара.

Няхай А – лінейная прастора над полем R сапраўдных лікаў R (над полем С камплексных лікаў).



Азначэнне 10.2. Нормай на А называецца сапраўдная функцыя , азначаная на мностве элементаў прасторы А і задавальняючая наступным аксіёмам:

1) ? 0 ?х??, пры гэтым = 0 тады і толькі тады, калі х = ? (аксіёма незвыроднасці (невырождаемости) нормы);

2) = ?? ?? ???R(C), ?x?A (аксіёма аднароднасці нормы);

3) (аксіёма няроўнасці трохвугольніка).


            1. Сімвалам азначана значэнне функцыі у пункце х, якое называецца нормай элемента х.

Азначэнне 10.3. Лінейная прастора А з нормай на гэтай прасторы называецца унармаванай прасторай.
            1. Такім чынам, заданне нормы на лінейнай прасторы пераўтварае яе ва ўнармаваную прастору.

У любой унармаванай прасторы А формула

?(x,y) = (10.1)

вызначае метрыку.

Сапраўды:

1) ?(x,y) = ;



?(x,y) = ? x = y;

2) ?(x,y) = = = ??1?? = ?(y,x);

3)?(x,y) =

=?(x,z) + ?(z,y).

Метрыка ?, якая ўведзена па формуле (10.1), валодае дзвюмя дадатнымі класіфікацыямі:

4) ?(x,y) = ?(x + z, y + z) (інварыянтнасць адносна зруху);

5) ?(?x, ?y) = ?(x,y) (дадатная адваротнасць).

Узнікае пытанне аб магчымасці увядзення нормы ў лінейнай метрычнай прасторы праз метрыку. Аказваецца, што гэта магчыма не заўсёды. Але мае месца наступнае сцвярджэнне:

калі ў лінейнай метрычнай прасторы А метрыка ? валодае ўласцівасцямі 1–3, то функцыя ??х,?? з’яўляецца нормай на лінейнай прасторы А і гэтая норма спараджае зыходную метрыку : = = ??х,??.

?Праверым здзяйсняльнасць аксіём нормы:

1) = ??х,?? ? 0, = ??х,?? = 0? х = ?;

2) =?(?x, ?) =?(?x, ???) = ?? ????х,?? = ?? ??;

3) = ??х + y,?? = ??х, ?y? ? ??х,?? + ???y,?? = ?



    1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
      %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка