Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка12/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16

§ 12. Лінейныя аператары


Няхай X і Y – унармаваныя лінейныя прасторы над полем R (C).

Азначэнне 12.1 Адлюстраванне А з лінейнай прасторы X ў лінейную прастору Y называецца лінейным аператарам (А: з; y=Ax), калі выконваюцца наступныя ўмовы:

1) ? x i y ? (адытыўнасць аператара);

2) ?x?X i ???R (аднароднасць аператара).

Сукупнасць ўсіх тых x?X, для якіх адлюстраванне вызначана, называецца абсягам вызначэння аператара і абазначаецца праз D(A). Мноства тых y?Y, для якіх y = Ax (x? D(A)) называецца абсягам значэнняў (вобразам) аператара A і абазначаецца праз R(A). Мноства тых x?X, для якіх Ax=?, называецца ядром лінейнага аператара і абазначаецца Ker A.



Заўвага. Калі Y ? мноства сапраўдных лікаў, тады лінейный аператар A называецца лінейным функцыяналам.

Прыклад 12.1. Няхай X ? адвольная лінейная прастора. Будзем лічыць

1x = x для ўсіх .

Аператар, які пераводзіць кожны элемент прасторы ў сябе, называецца адзінкавым аператарам.

Прыклад 12.2. Няхай X,Y ? адвольныя лінейныя прасторы і няхай

?х = ? для ўсіх x?X.

? называецца нулявым аператарам, ? ? нулявы элемент прасторы Y.

Прыклад 12.3. Прыкладам аператара ў прасторы C[a,b] з’яўляецца аператар узвядзення ў квадрат: .

Абсягам вызначэння аператара з’яўляецца уся прастора C[a,b], абсягам значэнняў – сукупнасць ўсіх неадмоўных функцый з C[a,b].



Прыклад 12.4. У прасторы C[a,b] можна разглядаць лінейны аператар дыферэнцавання: , які вызначаны на непарыўна - дыферэнцавальных функцыях. Абсягам значэнняў гэтага аператара будзе ўся прастора C[a,b].

Прыклад 12. 5. Для адвольных формулай

задаецца лінейны інтэгральны аператар.


    1. 12.1. Абмежаванасць і норма аператара


Азначэнне 12.2. Лінейны аператар называецца абмежаваным , калі існуе такі лік , што для

. (12.1)

Заўвага. Ў апошняй няроўнасці норма вылічаецца ў прасторы , якая змяшчае абсяг значэнняў аператара, а вылічаецца ў прасторы .

Азначэнне 12.2 эквіваленетна наступнаму.



Азначэнне 12.2. Лінейны аператар называецца абмежаваным, калі ен кожнае абмежаванае мноства з адлюстроўвае ў абмежаванае мноства з .

Для праверкі абмежаванасці аператара дастаткова знайсці вобраз адзінкавага шара прасторы , ці вобраз адзінкавай сферы гэтай прасторы і пераканацца, што гэты вобразы з’яўляюцца абмежаванымі мноствамі ў .



Азначэнне 12.3. Найменьшая з канстанат , задавальняючых няроўнасці (12.1), называецца нормай лінейнага аператара і абазначаецца

Прымем без доказу тэарэму.



Тэарэма 12.1. ці .

Прыклад 12.6. Разгледзім у прасторы C[a,b] функцыянал F, які дзейнічае па правілу: F(f(t)) = f(0), 0?t?1. Знайдзем яго норму:


  1. 12.2. Непарыўнасць лінейнага аператара


Азначэнне 12.4. Аператар называюць непарыўным у пункце , калі з умовы вынікае .

Тэарэма 12.2. Калі лінейны аператар непарыўны ў адным пункце , тады ен непарыўны ў любым пункце з .

? Няхай x - адвольны пункт із D(A) і . Тады , і паколькі аператар А непарыўны ў пункце , то .

Але па ўласцівасці адытыўнасці аператара

.

Таму , адкуль і вынікае, што . ?



Тэарэма 12.3. Для таго каб лінейны аператар быў непарыўным, неабходна і дастаткова, каб ен быў абмежаваным.

?неабходнасці.

Няхай непарыўны аператар неабмежаваны. Такім чынам, існуе паслядоўнасць элементаў (xn) такая, што .

Няхай .Тады Гэта значыць, што .

З другога боку, .

Таму пры не імкнецца да нуля, а значыць не імкнецца да нуля пры :, што супярэчыць непарыўнасці аператара А. ?

?дастатковасці.

Няхай лінейны аператар абмежаваны, г.зн. .

Няхай , г.зн. ; тады і ? , што азначае непарыўнасць . ?


    1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
      %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка