Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка16/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16

Заданне 4


Поўны дыферэнцыял другога парадку функцыі f(x,y) знаходзіцца па формуле:

dx2 + 2dxdy + dy2.

1) знойдзем частковыя вытворныя І парадку:



= y(cosx)y-1(?sinx), = (cosx)y ?lncosx;

2) адпаведна азначэнню частковых вытворных другога парадку знойдзем



=(?sinx? y? (cosx)y-1) = ? y (cosx ?(cosx)y-1 ? sinx?(y-1)(cosx)y-2) =

= ?y ((cosx)y? (y ? 1)sinx ?(cosx)y-2) = ? y?(cosx)y-2((cosx)2? (y?1)sinx);



=(?sinx? y? (cosx)y-1) = ?sinx?( (cosx)y-1 + y?(cosx)y-1ln(cosx))=

= ? sinx? (cosx)y-1(1 + yln(cosx);



= ((cosx)yln(cosx)) = (cosx)y? ln2(cosx).

Падставім атрыманыя формулы ў формулу для d2f (x,y):



(? y?(cosx)y-2((cosx)2? (y-1)sinx)dx2 – sinx?( (cosx)y-1 +

+ y?(cosx)y-1ln(cosx)) dxdy + (cosx)y? ln2(cosx) dy2.


    1. Заданне 5


ln ((1,03)2 + (0,05)3) = f( х0 + ?х, у0 +?у)дзе х0 = 1, ?х = 0,03, ?у = 0,05,

у0 = 0.

Увядзём функцыю f са значэннямі f (x,y) = ln(x2 + y3). Для яе ў кожным пункце (х,у) абсягу дыферэнцавання мае месца набліжанная роўнасць:

ln (( x0 + ?x)2 + (y0 + ?y)3) ? ln(+) + d ( ln(+)) або

ln (( x0 + ?x)2 + (y0 + ?y)3) ? ln(+) + ?x +?y (1)

ln (( x0 + ?x)2 + (y0 + ?y)3) ? ln( +) +.

Для набліжаннага вылічэння указаннага ліку ў набліжанную роўнасць (1) падставім х0 = 1, у0 = 0, ?x = 0,03, ?у = 0,05.

Атрымалі ln ((1,03)2 + (0,05)3) ? 0,06.


    1. Заданне 6


Знойдзем пункты, падазроныя на экстрэмум.

= 3x2 3y, = 3y2 3x.

Саставім і развяжам сістэму раўнанняў: .



? або .
Такім чынам М1(0,0) і М2(1,1) – пункты, падазроныя на экстрэмум. Даследуем іх на экстрэмум з дапамогаю дастатковай ўмовы экстрэмума. Азначым знак дэтэрмінанта:

, дзе

= 6x, = – 3, = 6y.

М1(0,0): A = 0, B = – 3, C = 0. ??M1? = – 9 < 0.

М2(1,1): A = 6, B = – 3, C = 6. ??M2? = 27 > 0.
Такім чынам, па дастатковай ўмове экстрэмума М2(1,1) - пункт мінімума, так як ?>0 і А>0. Пункт М2(1,1) не з’яўляюцца пунктамі экстрэмума, паколькі ?<0.
    1. Заданне 7


Патрабуецца змяніць парадак інтэгравання ў паўторным інтэграле:

.

Неабходна пабудаваць абсяг D.

Мяжа абсягу D складаецца з ліній: х = 0, х = 1, y = x3, y = 2 – x.

Пабудем мяжу і абсяг D (рыс.2 ).

Відавочна атрыманы абсяг з'яўляецца абсягам першага тыпу (гл.3.), але ён не будзе абсягам другога тыпу. Разаб'ём яго на два абсягі прамой у = 1. Атрымаем два абсягі другога тыпу D1 і D2. Абсяг D1 абмежаваны крывымі:



у = 0, у = 1, х = 0, x = , абсяг D2у = 1, у = 2, х = 0, x = 2 – у.
Зададзім абсягі D1 і D2 сістэмамі няроўнасцей:

; .

Такім чынам, I = = +.


    1. Заданне 8


Для выканання гэтага задання будзем карыстацца тэарэтычным матэрыялам § , гл.

Неабходна пабудаваць абсяг D у дэкартавай сітэме каардынат.

Мяжа абсягу D складаецца з крывых: х = 1, у = 1, x2 + y2 = 1.

Пабудуем мяжу і такім чынам абсяг D (рыс.3)

Сумясцім дэкартавую сістэму каардынат з палярнай сістэмай каардынат: вось супадае з палярнай воссю 0p. Скарыстаем формулы пераходу да палярных каардынат ( x = r cos?, y = r sin? ) для атрымання формул крывых у новай сістэме каардынат. Такім чынам, x2 + y2 = 1 ? r = 1; x = 1 ? r = 1/cos ?; y = 1 ? r = 1/sin?.
У новай сістэме каардынат абсяг D абмежаваны прамянямі ? = 0 і ? =??? і графікамі дзвюх функцый r = 1/sin? і r = 1/cos? , але ён не з’яўляецца абсягам неабходнага тыпу. Таму разаб’ём абсяг D прамянём ? = ??4 на 2 абсягі D1 і D2. Такім чынам, абсяг D1 абмежаваны прамянямі ? = 0, ? =??4 і крывымі r =1 і r =1/sin? , абсяг D2 – прамянямі ? =??4, ? =??4 і крывымі r = 1, r = 1/cos ?.

Зададзім абсягі D1 і D2 сістэмамі няроўнасцей:



; .

Неабходна ўлічыць якабіян І = r.

Тады

=+=

=??(sin? ? ?)?

? (?cos? ? ?) = ? ? () =.

    1. Заданне 9


Для знаходжання плошчы плоскай фігуры D будзем карыстацца формулай

Фігура D абмежавана крывымі: х = (у? 2)2, у2 = 4 – х.



Пабудуем крывыя і абсяг D (рыс.4). Абсяг D зручна аднесці да абсягу ІІ тыпу. Зададзім яго сістэмай няроўнасцей:



.

S(D) = = =

=.


    1. Заданне 10


Аб’ём цыліндрычнага цела Т (цыліндроіда) вылічваецца па формуле

.

Заданае цела Т з’яўляецца цыліндроідам, абмежаваным зверху паверхняй z = х2 + у2, знізу плоскасцю z = 0, а з бакоў плоскасцямі x + y = 1,

x = 0, y = 0 (рыс.5 ). Абсяг D мае выгляд трохвугольніка. Аднясём яго да абсягу І тыпу. Такім чынам,
= ==

= .


    1. Заданне 11


Вылічыць крывалінейныя інтэгралы:

1., дзе ?АВ – дуга парабалы у = х3 ад пункта А(0,0) да пункта В(2,4).

Iнтэграл I1- крывалінейны інтэграл другога тыпу , дзе P(x,y) i Q(x,y) – непарыўныя функцыі, ?АВ – дуга гладкай крывой y = f(x), якая прабягаецца пры змяненні х ад а да b.

= . (1)

У нашым выпадку: f (x) = х3, f (x) =3х2, x?[0,2].

Па формуле (1) I1 = = = = 20.

2. , дзе L – акружына x = 2 cos t, y = 2 sin t пры дадатным кірунку абыхода.

Інтэграл І2 - агульны выпадак крывалінейнага інтэграла І1, калі крывая L задана параметрычна: x = ?(t), y = ?(t), дзе t змяняецца ад ? да ?.

= . (2)

У нашым выпадку: L – дуга акружыны, якая прабягаецца пры змяненні t ад 0 да 2?; ? (t) = x (t) = ? 2sint, ? (t) = y (t) = 2cost.

Па формуле (2)

І2 = == ? 4?.


    1. Заданне 12


Задачу аднаўлення функцыі f (x,y ) ў абсягу D па яе поўнаму дыфе-рэнцыялу df (x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy развязвае формула

f(x,y ) =,

дзе крывалінейны інтэграл не залежыць ад формы шляху інтэгравання, і таму яго можна браць па любой крывой, якая злучае пункты (х00) і (х, у) абсягу D.

Па умове задачы df(x,y) = (х2 + 2xy ? у2)dx + (х2 – 2xy –? у2) dy.

Праверым ці выконваецца ўмова незалежнасці крывалінейнага інтэграла ад шляху інтэгравання:



= = 2х – 2у.

Такім чынам, умова выконваецца для любых х і у мноства R2. Таму абсяг D = R2. У нашым выпадку ў якасці шляху інтэгравання зручна выбраць ламаную, звення якой паралельны восям каардынат, а за пункт (х0,у0) прыняць пачатак каардынат О(0;0) (рыс.6 )




f(x,y) ==

=+=

= x3/3 + x2y ? xy2 ? y3/3 + C.





    1. Пытанні да экзамену па раздзелах "Метрычныя прасторы” і “Функцыi многiх зменных"


1. Адлегласць памiж пунктамi каардынатнай плоскасцi i яе ўласцiвасцi.

2. Азначэнне метрыкi, яе іласцiвасцi. Паняцце метрычнай прасторы (м.пр.). Прыклады метрычных прастораў: R1 ,R2, l2, C [a,b] .

4. Няроўнаць Кашы – Бунякоўскага. Няроўнасць Мінкоўскага. Доказ метрычнасці прасторы Rm.

3. Класiфiкацыя пунктаў i мностваў у метрычных прасторах: нутра­ныя, лiмiтавыя i межавыя пункты; наваколле, нутро, замыканне, мяжа. Адкрытыя i замкнёныя мноствы. Тэарэмы аб адкрытых i замкнёных мноствах.

4. Паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы, яе збежнасць. Даказаць тэарэму аб па­каардынатнай збежнасцi паслядоўнасцi ў прасторы Rm . Тэарэма Бальцана-Вайерштраса.

5. Адлюстраваннi ў метрычных прасторах. Лiмiт, непарыўнасць, раўнамерная непарыўнасць адлюстраванняў.

6. Злучнасць метрычных прастораў, яе захаванасць пры непарыўным адлюстраваннi.

7. Паняцце кампактных прастораў (кампактаў). Неабходныя ўмовы кампактнасцi мностваў у метрычных прасторах. Неабходная i дастатковая ўмова кампактнасцi мностваў у прасторы R .

8. Непарыўныя адлюстраваннi кампактных прастораў, iх уласцiвасцi:

а) кампактнасць вобраза;

б) раўнамерная непарыўнасць адлюстраванняў;

в) непарыўнасць адваротнага адлюстравання;

г) першая і другая тэарэмы Вайерштраса.

9. Поўныя метрычныя прасторы. Доказ паўнаты прастораў R1 ,Rm, C [a,b].

10. Сцiскальные адлюстраваннi. Прынцып Банаха сцiскаль­ных адлюстраванняў. Метад паслядоўных наблiжанняў. Яго прыкладанне для рашэння раўнанняў.

11. Паняцце сапраўднай функцыi n сапраўдных зменных як функцыi пункта прасторы Rn . Графiк функцыi дзвюх зменных. Лiнii узроўня для функцыi дзвюх зменных.

12. Лiмiт функцыi дзвюх зменных. Паняцце. Метады вылiчэння.

13. Паняцце частковых вытворных i iх геаметрычны сэнс. Азначэнне ды­ферэнцавальнай функцыi ў пункце (xо,yо). Неабходная умова дыферэнцавальнасцi функцыi многiх зменных. Дастатковая ўмова дыферэн­цавальнасцi функцыі многіх зменных.

14. Паняцце дыферэнцыяла функцыі многіх зменных. Датычная плоскасць. Геаметрычны сэнс дыферэнцыяла функцыi дзвюх зменных.

15. Паняццi вектар-функцыi i складанай функцыi (кампазiцыi функ­цый). Частковыя вытворныя складанай функцыi. Дыферэнцыял складанай функ­цыi. Iнварыянтнасць формы першага дыферэнцыяла.

16. Вытворная па кiрунку. Градыент.

17. Няяўныя функцыi. Тэарэма аб iснаваннi няяўнай функцыi. Вылiчэнне вытворнай такой функцыi.

18. Частковыя вытворныя вышэйшых парадкаў функцыi дзвюх змен­ных. Умова роўнасцi змешаных вытворных.

19. Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў. Формула Тэйлара для функцыi дзвюх зменных.

20. Лакальны экстрэмум функцыі многіх зменных. Азначэнне. Неабходная ўмова экстрэмума функцыi дзвюх зменных. Дастатковая ўмова экстрэмума функцыi дзвюх зменных.

21. Абсалютны экстрэмум функцыі многіх зменных. Метад знаходжання найбольшага i най­меньшага значэнняў функцыi ў замкнёным абсягу.

22. Паняцце падвойнага iнтэграла i яго ўласцiвасцi. Геаметрычны сэнс падвойнага iнтэграла. Вылiчэнне плошчаў i аб'ёмаў.

23. Вылiчэнне падвойных iнтэгралаў паўторным iнтэграваннем.

24. Замена зменнай ў падвойных iнтэгралах. Падвойныя iнтэгралы ў па­лярнай сiстэме каардынатаў.

25. Плошча гладкай паверхнi i яе вылiчэнне з дапамогай падвойных iнтэгралаў.

26. Патройны iнтэграл. Азначэнне, уласцiвасцi, вылiчэнне паўторным iнтэграваннем.

27. Замена зменнай у патройным інтэграле. Цыліндрычныя і сферычныя каардынаты. Вылiчэнне аб'ёмаў.

28. Крывалiнейны iнтэграл па каардынатах i яго уласцiвасцi.

29. Вылiчэнне крывалiнейных iнтэгралаў.

30. Формула Астраградскага-Грына.

31. Умова незалежнасцi крывалiнейнага iнтэграла ад формы шляху iнтэгравання.


  1. Літаратура


1. Аксень М.Б. Основные структуры математического анализа: Учебное пособие. М., 1988.

2. Арцем’ева С.М., Гуло І.М., Хурсевіч Г.Я. Вылічэнне крывалінейных інтэгралаў: Вучэбна метадычны дапаможнік. Мн. БДПУ імя М.Танка, 2000.

3. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа: В 2 т. М.:Просвещение, 1972. Т.2.

4. Гаврин В.П., Кабак Г.И., Кибалко П.И. Контрольные работы по теме “Метрические пространства и функции нескольких переменных” для студентов-заочников: Методическое пособие. Мн., МГПИ им. А.М.Горького, 1981.

5. Давыдов Н.А.,Коровкин П.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

6. Зорич В.А. Математический анализ: В 2 ч. М.: Наука,1984. Ч.2.

7. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа: В 2 ч.М.: Наука, 1971. Ч.2.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

9. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2 т. М. Высшая школа, 1981. Т.2.

10. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.

11. Нормированные пространства. Методические разработки. Составитель А.К.Покало. МГПИ им.Горького, 1990.

12. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа: В 2 т. М.: Просвещение, 1966. Т.2.



13. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 3 т.М.: Физматгиз, 1968. Т.2.




1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка