Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§2. Класіфікацыя пунктаў і мностваў у метрычных прасторах



старонка2/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§2. Класіфікацыя пунктаў і мностваў у метрычных прасторах


Няхай (Х, ?) – метрычная прастора.

Азначэнне 2.1. Адкрытым шарам з цэнтрам у пункце хо і радыусам ? называецца мноства ўсіх пунктаў х, якія задавальняюць умову ?(xо)< ?. Гэта мноства называецца таксама ?-наваколлем пункта хо і абазначаецца U(xo, ?) або U?( xo).

Прыклад 2.1. Адкрыты шар у розных прасторах:

? у прасторы R1: (xo? ?; xo+ ?) – інтэрвал;

? у прасторы R2: адкрыты круг;

? у прасторы R3: адкрыты шар.



Азначэнне 2.2. Замкнёным шарам з цэнтрам у пункце хо і радыусам ? называецца мноства ўсіх пунктаў х, якія задавальняюць умове ?(xо)? ?.

Мы будзем казаць шар і будзем мець на увазе азначэнне 2.2.

Сфера – мноства пунктаў, якія здавальняюць умове ?(xо) = ?.

Прыклад 2.2. Шар у розных прасторах:

? у прасторы R1: [xo? ?; xo+ ?] – адрэзак;

? у прасторы R2: замкнёны круг або проста круг;

? у прасторы R3: замкнёны шар або шар.



Азначэнне 2.3. Мноства Е?Х называецца абмежаваным у метрычнай прасторы (Х, ?), калі існуе шар канечнага радыуса, які уключае гэта мноства.

Заўвага 2.1. Мноствы ў розных метрычных прасторах могут быць абмежаванымі і неабмежаванымі.

Прыклад 2.3. Інтэрвал (3;5) ? R – мноства абмежаванае ў прасторы R; інтервал (3;5) прасторы Х = ((3;5), ?(x,y) = ?х?у?) не з’яўляецца абмежаваным у прасторы Х.

Азначэнне 2.4. Няхай Е?Х. Пункт х0 называецца межавым пунктам мноства Е, калі ў любым наваколлі гэтага пункта знаходзяцца пункты, якія належаць мноству Е і не належаць яму.

Мноства межавых пунктаў – мяжа мноства Е і абазначаецца ?Е.



Прыклад 2.4. Мноства Е1 = ( 0;1] ? R ? ?Е = { 0;1};

мноства Е2 = ( 0;1] ? Х = (( 0;1], ?(x,y) = ?х? у?) не мае мяжы.



Заўвага 2.2. Межавыя мункты мноства могуць як належыць мноству, так і не належыць яму.

Азначэнне 2.5. Пункт х0 называецца нутраным пунктам мноства Е, калі існуе наваколле пункта х0, якое цалкам ляжыць у мностве Е. Мноства ўсіх нутраных пунктаў называецца нутром мноства Е і абазначаецца .

Прыклад 2.5. Е1 = (2;3), Е2 = (2;3], Е3 = [2;3] ?= == (2;3)

Прыклад 2.6. у метрычнай прасторы R; = Е у прасторы : Х = (( 2,3]? ?{4,5}, ?(x,y)=?х?у?) – падпрасторы м.пр. R.

Азначэнне 2.6. Калі кожны пункт мноства Е нутраны, то яно называецца адкрытым , а яго нутро супадае з самім мноствам: = Е.

У прыкладе 2.5 мноства Е1 з’яўляецца адкрытым, а мноствы Е2 і Е3 не з’яўляецца адкрытымі.

У прыкладзе 2.6 у першым выпадку мноства Е не з’яўляецца адкрытым, у другім - з’яўляецца адкрытым.

Прыклад 2.7. Інтэрвал (a,b) з’яўляецца адкрытым мноствам у метрычнай прасторы R.

Азначэнне 2.7. Пункт хо называецца лімітавым пунктам мноства Е, калі ў любым яго наваколлі знаходзіцца бясконца многа пунктаў мноства Е.

Другімі словамі пункт хо называецца лімітавым пунктам мноства Е, калі ў любым яго наваколлі знаходзіцца прынамсі адзіны пункт мноства Е, які не супадае з хо.

Мноства ўсіх лімітавых пунктаў мноства Е называецца вытворным мноствам мноства Е і абазначаецца Е?.

Заўвага 2.3. Лімітавыя пункты могуць як належыць мноству Е, так і не належыць яму.

Азначэнне 2.8. Калі мноства Е?Х утрымлівае ўсе сваі лімітавыя пункты, то яно называецца замкнёным.

Прыклад 2.8. У прасторы R1 : Е1 = (a,b), = [a,b];

E2 = [a,b], = Е2;

Е3 = ( 2,4)?{6}; = [2,4].



Прыклад 2.9. Пустое мноства – замкнёнае мноства.

Азначэнне 2.9. Пункт хо называецца ізаляваным пунктам мноства Е, калі існуе ? - наваколле гэтага пункта, якое не ўтрымлівае ніякіх іншых пунктаў мноства Е, акрамя самога пункта хо .

Заўвага 2.4. Кожны пункт мноства Е лімітавы або ізаляваны.

Прыклад 2.10. У метрычнай прасторы R кожны пункт мноства {0,1,1/2,…}, акрамя пункта 0, з'яўляецца ізаляваным; пункт 0 – лімітавы пункт дадзенага мноства.

Азначэнне 2.10. Пункт хо называецца пунктам дакранання мноства Е, калі любое яго ? - наваколле утрымлівае прынамсі адзіны пункт мноства Е.

З азначэнняў 2.7, 2.9 і 2.10 вынікае, што кожны пункт дакранання мноства Е можа быць

- або лімітавым пунктам мноства Е, які належыць мноству Е;

- або лімітавым пунктам мноства Е, які не належыць мноству Е;

- або ізаляваным пунктам мноства Е.

Азначэнне 2.11. Мноства ўсіх пунктаў дакранання мноства Е называецца замыканнем мноства Е і абазначаецца .

Заўвага 2.5. = Е ?? Е?.

Заўвага 2.6. Мноства замкнёнае, калі яно супадае са сваім замыканнем.

Азначэнне 2.12. Дапаўненнем мноства Е?Х да мноства Х называецца мноства ўсіх пунктаў мноства Х, якія не належаць мноству Е. Гэта мноства абазначаецца СхЕ або СЕ.


  1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка