Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка3/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§3. Тэарэмы аб адкрытых і замкнёных мноствах


Тэарэма 3.1. Аб’яднанне любога ліку адкрытых мностваў – мноства адкрытае.

Няхай Gk , дзе k ? N - адкрытые мноствы.

Дакажам, што - адкрытае мноства.

?Выбярэм любы пункт хо ?G. Па азначэнню аб’яднання мностваў пункт хо належыць аднаму з мностваў Gk . Паколькі Gk – адкрытае мноства, то існуе



? - наваколле пункта хо, якое цалкам ляжыць у кожным мностве Gk : U( xo, ?) ? Gk ? U( xo,?) ? G.

Атрымалі, што любы пункт хо?G – нутраны, а гэта значыць, што G – адкрытае мноства. ?



Тэарэма 3.2. Перасячэнне кoнцага ліку адкрытых непустых мностваў– мноства адкрытае.

Няхай Gk ( k = 1,2, …,n) – адкрытыя мноствы.

Дакажам, што - адкрытае мноства.

?Выбярэм любы пункт хо ?G. Па азначэнню перасячэння мностваў хо належыць кожнаму з мностваў Gk. Паколькі кожнае мноства Gk адкрытае, то ў любым мностве Gk існуе ?k - наваколле пункта хо: U( xo, ? k) ? Gk. Мноства лікаў {?1, ?2,…, ?n } концае, таму існуе лік ? = min {?1,?2,…,?n}. Тады ? - наваколле пункта хо знаходзіцца ў кожным ?k - наваколлі пункта хо:U( xo, ?) ? U?( xo, ?k) ? ? U( xo, ?) ? G.

Атрымалі, што хо – нутраны пункт мноства G, а гэта значыць, што G – адкрытае мноства. ?

Заўвага 3.1. Перасячэнне бясконцага мноства адкрытых мностваў можа і не быць адкрытым мноствам.

Прыклад 3.1. Няхай у прасторы R Gk = (21/k; 4+1/k), дзе k=1,2,…,n,…. G1=(1;5), G2(1,5;4,5), [2;4] ? Gk, замкнёнае мноства.

Тэарэма 3.3. Перасячэнне бясконцага ліку замкнёных непустых мностваў – замкнёнае мноства.

Няхай Fk - замкнёные мноствы.

Дакажам, што мноства замкнёнае, г.зн., што яно ўтрымлівае ўсе сваі лімітавыя пункты.

?Няхай хо – лімітавы пункт аднаго з мностваў Fk. З азначэння перасячэння мностваў вынікае, што ў любым ? - наваколлі пункта хо знаходзіцца бясконца многа пунктаў кожнага з мностваў Fk, а гэта значыць, што хо лімітавы пункт любога мноства Fk . У сілу замкнёнасці мностваў Fk пункт



хо? Fk ?k ? хо? F. Паколькі пункт хо выбраны адвольна, то усе лімітавыя пункты належаць мноству F, а гэта значыць мноства F замкнёнае. ?

Тэарэма 3.4. Аб’яднанне концага ліку замкнёных мностваў – мноства замкнёнае.

Няхай кожнае мноства Fk замкнёнае.

Дакажам, што мноства замкнёнае, г.зн., калі хо – лімітавы пункт мноства F, то хо? F.

?Няхай хо – любы лімітавы пункт мноства F, то у любым ? - наваколлі пункта хо існуе бясконца многа пунктаў мноства . Паколькі колькасць мностваў Fk концая, то хо належыць прынамсі аднаму з мностваў Fk, г.зн. хо – лімітавы пункт для гэтага мноства.

У сілу замкнёнасці Fk пункт хо? Fk , а таму і мноству. Паколькі пункт хо выбраны адвольна, то усе лімітавыя пункты належаць мноству F, а гэта значыць мноства F замкнёнае. ?

Заўвага 3.2. Аб’яднанне бясконцага ліку замкнёных мностваў можа быць мноствам адкрытым.

Прыклад 3.2. У прасторы R: Fk =[2+1/k;5–1/k]

F1 = [3;4]; F2 = [2,5;4,5]; …. Інтэрвал (2;5) – адкрытае мноства.

Прымем без доказу тэарэмы 3.5 і 3.6, звязанныя з дапаўненнем мноства Е да мноства Х: СхЕ=СЕ.



Тэарэма 3.5. Калі мноства Е замкнёнае, то яго дапаўненне СЕ адкрытае мноства.

Прыклад 3.3. Е= [2,5], CR E = (? ?,2)??5????.

Тэарэма 3.6. Калі мноства Е адкрытае, то яго дапаўненне СЕ замкнёнае мноства.

Прыклад 3.4. Е= (2,5), CR E = (??,2]?[5????.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка