Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§4. Паслядоўнасці пунктаў метрычнай прасторы



старонка4/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§4. Паслядоўнасці пунктаў метрычнай прасторы


Азначэнне 4.1. Паслядоўнасцю пунктаў метрычнай прасторы (Х, ?) называецца адлюстраванне f мноства натуральных лікаў у мноства Х : f: N X.

Значэнне гэтага адлюстравання ў пункце n ? N называецца n-м элементам паслядоўнасці пунктаў метрычнай прасторы і абазначаецца: xn = f(n), паслядоўнасць (xn) або паслядоўнасць (х12,…, хn) або (хn =(х12,…, хn,…)).



Прыклад 4.1. У прасторы R2 : , дзе х1= (1;2), х2=(1/2;3/2).

Прыклад 4.2. У прасторы С[a,b]: , дзе х1 = 1/x + x,

х2 = 1/2x + 4x, … ?x??2,3?.

Азначэнне 4.2. Няхай (xn) – паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы (Х, ?), (k1,k2,…, kn,…) – нарастальная паслядоўнасць натуральных лікаў. Тады паслядоўнасць называецца падпаслядоўнасцю паслядоўнасці (xn).

Прыклад 4.3. Паслядоўнасць – падпаслядоўнасць паслядоўнасці .

Азначэнне 4.4. Няхай (xn) – паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы (Х, ?). Пункт а ? Х называецца лімітам паслядоўнасці (xn) калі:

1) (?? ??)( ??(??)(?n??) ? [??xn,a???] або 2) ??xn,a)? 0 , калі n?? ,

і абазначаецца

па метрыцы ? або , калі n??.

Калі паслядоўнасць (xn) мае ліміт, то яна называецца збежнай, у працілеглым выпадку – разбежнай.

Калі (xn) – паслядоўнасць метрычнай прасторы (Х, ?) збягаецца да ліку а?Х, то а – лімітавы пункт паслядоўнасці (xn).

Адваротнае вогулле не мае месца.

Для збежных паслядоўнасцей маюць месца наступныя тэарэмы.

Тэарэма 4.1. Калі (xn) – збежная паслядоўнасць метрычнай прасторы

(Х, ?), то яе ліміт адзіны.

?Няхай

? ??xn,a??0 і ? ??xn,b?? 0.

Па аксіёмам метрыкі 0 ? ??a,b? ? ?? xn,a? + ??xn,b?. Перойдзем да ліміту, калі n??, Атрымаем ??a,b? = 0 ? a=b. ?



Тэарэма 4.2. Калі (xn) – збежная паслядоўнасць метрычнай прасторы

(Х, ?), то яна абмежаваная.

?Няхай .

Па азначэнню ліміта паслядоўнасці для любога ???, у прыватнасці для ?=1, існуе такі нумар N, што для усіх n?? выконваецца няроўнасць ??a,xn?<1.

Паложым лік r = max{1, ?? x1, a), ?? x2, a?,…,?? xN, a ?}. Відавочна, што

??xn, a)? r ?n?N. Можна зрабіць выснову, што ўсе элементы дадзенай паслядоўнасці утрымліваюцца ў шары з цэнтрам у пункце а і радыусам r. А гэта значыць, што дадзеная паслядоўнасць абмежаваная. ?

Тэарэма 4.3. Калі паслядоўнасць (xn) метрычнай прасторы (Х, ?) збягаецца да ліку а ?Х, то любая яе падпаслядоўнасць збягаецца да а.

?Няхай – адвольная падпаслядоўнасць паслядоўнасці (xn). Па ўмове.Гэта азначае наступнае: (????)( ?????)(?n?? )?[?? xn???].

Паколькі kn ? n, то для ўсіх n>N будзем мець kn >N і таму ?.

Такім чынам мы даказалі, што (????)(?????)(?n??) ? [? ]. Гэта азначае, што . ?



    1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
      %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка