Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§5. Уласцівасці збежных паслядоўнасцей у некаторых метрычных прасторах



старонка5/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§5. Уласцівасці збежных паслядоўнасцей у некаторых
метрычных прасторах


Тэарэма 5.1 (аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm). Для таго, каб паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы Rm

(хn =(х1(n)2(n),…, хm(n),…)) збягалася да пункта а =(а12,…, аm) гэтай прасторы неабходна і дастаткова каб лікавыя паслядоўнасці (х1(n)), (х2(n)),…,(хm(n)) збягаліся адпаведна да лікаў а12,…, аm :

,,..., (5.1)

Калі выконваюцца умовы (1), то кажуць, што паслядоўнасць (хn) збягаецца да пункта а пакаардынатна.

?неабходнасці.

Няхай (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Дакажам, што выконваюцца роўнасці (5.1).

У сілу роўнасці (5.2) па азначэнню ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm будзем мець:

(????)(?????)(?n?? ) ? [?? xn???],

дзе ? - метрыка метрычнай прасторы Rm :



?x,y? Rm .

Няроўнасць ?? xn??? прыме выгляд:





? ? x1(n)?a1 ???, ? x2(n)? a2 ???,… ,? xm(n)?am ???.

Такім чынам, калі k = 1, 2,…,m даказана, што

(????)(?????)(?n??) ?[? xk(n)? ak ???] ??

роўнасці (5.1). ?

?дастатковасці.

Няхай маюць месца роўнасці (5.1).

Дакажам, што (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Няхай ? - адвольны дадатны лік і ў прыватнасці няхай яго ролю адыгрывае лік .

Таму (????)( ?nk)(?n?nk) ?? xk(n)?ak ??, k = 1,2,…,m.

Выбярэм лік N = max{ n1, n2,…, nm }. Тады ?n>N ?



Мы даказалі, што (????)(?????)(?n??) ?[?? xn???] ?.?



Прыклад 5.1. Знайсці ліміт a = (a1,a2)

паслядоўнасці у прасторы R2.



Такім чынам, =(1/4;3).



Тэарэма 5.2 (Бальцана-Вайерштраса). З усякай абмежаванай паслядоўнасці прасторы Rm можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Прыватны выпадак гэтай тэарэмы для прасторы R1 быў даказаны на першым курсе.



Тэарэма 5.3. Для таго, каб паслядоўнасць (xn) пунктаў метрычнай прасторы С[a,b] з чэбышоўскай метрыкай збягалася да элементу х гэтай прасторы , неабходна і дастаткова, каб функцыйная паслядоўнасць (xn(t)) раўнамерна збягалася да х(t) на [a,b].

Дакажам дастатковасць.

?Нагадаем , што метрыка у прасторы С[a,b] мае выгляд

Вядома, што функцыйная паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі х тады і толькі тады, калі

З улікам азначэння метрыкі ў прасторы С[a,b] мы маем роўнасць

па метрыцы ? у метрычнай прасторы С[a,b]. ?

Прыклад 5.2. xn(t) = tn ?t? ??;???? ??n?N. Вядома, што на адрэзку ??;???? функцыйная паслядоўнасць xn(t) = tn раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі x (t) = 0. Такім чынам ?t? ??;???? паслядоўнасць (xn) збягаецца да х = 0 у метрычнай прасторы С[0;1/2].

Тэарэма 5.4. Калі алімітавы пункт мноства Е метрычнай прасторы

(X, ?), то існуе паслядоўнасць (xn), элементы якой належаць Е і няроўныя а, якая збягаецца да а у гэтай метрычнай прасторы.

Доказ аналагічны доказу для прасторы R.


    1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
      %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
      2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка