Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка5/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§5. Уласцівасці збежных паслядоўнасцей у некаторых
метрычных прасторах


Тэарэма 5.1 (аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm). Для таго, каб паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы Rm

(хn =(х1(n)2(n),…, хm(n),…)) збягалася да пункта а =(а12,…, аm) гэтай прасторы неабходна і дастаткова каб лікавыя паслядоўнасці (х1(n)), (х2(n)),…,(хm(n)) збягаліся адпаведна да лікаў а12,…, аm :

,,..., (5.1)

Калі выконваюцца умовы (1), то кажуць, што паслядоўнасць (хn) збягаецца да пункта а пакаардынатна.

?неабходнасці.

Няхай (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Дакажам, што выконваюцца роўнасці (5.1).

У сілу роўнасці (5.2) па азначэнню ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm будзем мець:

(????)(?????)(?n?? ) ? [?? xn???],

дзе ? - метрыка метрычнай прасторы Rm :



?x,y? Rm .

Няроўнасць ?? xn??? прыме выгляд:





? ? x1(n)?a1 ???, ? x2(n)? a2 ???,… ,? xm(n)?am ???.

Такім чынам, калі k = 1, 2,…,m даказана, што

(????)(?????)(?n??) ?[? xk(n)? ak ???] ??

роўнасці (5.1). ?

?дастатковасці.

Няхай маюць месца роўнасці (5.1).

Дакажам, што (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Няхай ? - адвольны дадатны лік і ў прыватнасці няхай яго ролю адыгрывае лік .

Таму (????)( ?nk)(?n?nk) ?? xk(n)?ak ??, k = 1,2,…,m.

Выбярэм лік N = max{ n1, n2,…, nm }. Тады ?n>N ?



Мы даказалі, што (????)(?????)(?n??) ?[?? xn???] ?.?



Прыклад 5.1. Знайсці ліміт a = (a1,a2)

паслядоўнасці у прасторы R2.



Такім чынам, =(1/4;3).



Тэарэма 5.2 (Бальцана-Вайерштраса). З усякай абмежаванай паслядоўнасці прасторы Rm можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Прыватны выпадак гэтай тэарэмы для прасторы R1 быў даказаны на першым курсе.



Тэарэма 5.3. Для таго, каб паслядоўнасць (xn) пунктаў метрычнай прасторы С[a,b] з чэбышоўскай метрыкай збягалася да элементу х гэтай прасторы , неабходна і дастаткова, каб функцыйная паслядоўнасць (xn(t)) раўнамерна збягалася да х(t) на [a,b].

Дакажам дастатковасць.

?Нагадаем , што метрыка у прасторы С[a,b] мае выгляд

Вядома, што функцыйная паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі х тады і толькі тады, калі

З улікам азначэння метрыкі ў прасторы С[a,b] мы маем роўнасць

па метрыцы ? у метрычнай прасторы С[a,b]. ?

Прыклад 5.2. xn(t) = tn ?t? ??;???? ??n?N. Вядома, што на адрэзку ??;???? функцыйная паслядоўнасць xn(t) = tn раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі x (t) = 0. Такім чынам ?t? ??;???? паслядоўнасць (xn) збягаецца да х = 0 у метрычнай прасторы С[0;1/2].

Тэарэма 5.4. Калі а – лімітавы пункт мноства Е метрычнай прасторы

(X, ?), то існуе паслядоўнасць (xn), элементы якой належаць Е і няроўныя а, якая збягаецца да а у гэтай метрычнай прасторы.

Доказ аналагічны доказу для прасторы R.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка