Азначэнні і прыклады метрычных прастораў



старонка6/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

§6. Поўныя метрычныя прасторы


Азначэнне 6.1. Паслядоўнасць (xn) метрычнай прасторы (Х, ?) называецца фундаментальнай, калі (???0)( ?N)(?n,m > N ) ? [?(xm,xn)??].

Прыкладам фундаментальнай паслядоўнасці з'яўляецца любая збежная паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы.



У прасторы R любая фундаментальная паслядоўнасць збежная. Але не ўсякая фундаментальная паслядоўнасць метрычнай прасторы (Х, ?) збягаецца ў гэтай прасторы.

Напрыклад, у метрычнай прасторы Х = (Q; ? =?х? у?) паслядоўнасць



xn = (1 + 1/n)n ? e, калі n ? ?, але е ? I i e?X.

Азначэнне 6.2. Метрычная прастора называецца поўнай метрычнай прасторай, калі любая фундаментальная паслядоўнасць пунктаў гэтай прасторы збягаецца ў ёй.

Прыклад 6.1. Метрычная прастора R – поўная метрычная прастора, паколькі любая яе фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да ліку, які належыць прасторы R. Гэта выцякае з крытэрыя Кашы: для таго каб лікавая паслядоўнасць была збежнай , неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнай.

Прыклад 6.2. Дакажам, што прастора Rm - поўная метрычная прастора.

?Няхай паслядоўнасць (xn= (x1(n), x2(n),…, xm(n))) (6.1) – адвольная функцыйная паслядоўнасць прасторы Rm. Пакажам, што паслядоўнасць збежная і яе ліміт належыць прасторы Rm.

Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці і азначэнню метрыкі ў прасторы Rm

(???0)(? N(?))(? p,n >N) ? [?(xp,xn)??] ?

Адпаведна доказу тэарэмы 5.1 ? xk(p) ? xk(n)? ? ?. Такім чынам, была даказана фундаментальнасць лікавых паслядоўнасцей (x1(n)), (x2(n)),…, (xm(n)), а адсюль і іх збежнасць.

Няхай

Разгледзім пункт а = (а1, а2, …, аm). Паколькі а1, а2, …, аm? Rm, то а? Rm. Па тэарэме аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў прасторы (Х, ?) атрымалі, што ў метрычнай прасторы Rm паслядоўнасць (xn) збягаецца да а?Rm Гэта значыць, што прастора Rm поўная метрычная прастора. ? Прыклад 6.3. Дакажам, што метрычная прастора С[a,b] з'яўляецца поўнай.

?Няхай (xn) – адвольная фундаментальная паслядоўнасць у метрычнай прасторы С[a,b]. Элементы яе непарыўныя на [a,b] функцыі.

Дакажам, што паслядоўнасць (xn) збягаецца ў метрычнай прасторы С[a,b]. Спачатку дакажам, што яна збягаецца да лімітавай функцыі х(t) на адрэзку [a,b].

Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці

(???0)(?N(?))(?m,n > N) ? [?(xm,xn)??] ?

?? xm (t)? xn(t)?< ? ?n,m >N ? ?t?[a,b] (6.2)

Гэта значыць, што ?t?[a,b] фундаментальнай з’яўляецца функцыйная паслядоўнасць (xn). Таму яна мае ліміт.

Калі ў няроўнасці (6.2) перайсці да ліміту пры m??, то . Атрымаем

? x (t)? xn(t)? ? ? ?n>N ? ?t?[a,b].

Такім чынам, мы даказалі, што

(???0)(?N(?))(?n > N ? ?t?[a,b])?[? x (t)? xn(t)? ? ?].

А гэта значыць, што паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да функцыі х(t) на [a,b]. Паколькі ўсе элементы функцыйнай паслядоўнасці (xn) непарыўныя на [a,b] функцыі, то лімітавая функцыя х(t) таксама непарыўная на гэтым адрэзку і таму з’яўляецца элементам метрычнай прасторы С[a,b]. Па тэарэме 5.2 у гэтай прасторы паслядоўнасць (xn) збягаецца да х(t). Гэта сведчыць аб паўнаце метрычнай прасторы С[a,b]. ?

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка