Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§7. Ліміт і непарыўнасць адлюстраванняў метрычных прастораў



старонка7/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16

§7. Ліміт і непарыўнасць адлюстраванняў
метрычных прастораў


Пад адлюстраваннем метрычных прастораў будзем разумець адлюстраванне мностваў элементаў метрычных прастораў. Далей метрычную прастору і яго мноства будзем абазначаць адной літарай X або Y, а метрыку адпаведна ?X i ?Y.

Няхай f – адлюстраванне з метрычнай прасторы X у метрычную прастору Y, г.зн. f: з Х Y, пункт А?Y, x0 – лімітавы пункт D( f ) (D( f ) – абсяг вызначэння адлюстравання f у прасторы Х ).



Азначэнне 7.1 (паводле Гайнэ). Пункт А называецца лімітам адлюстравання f у пункце х0, калі для любой паслядоўнасці (xn) збежнай да хo па метрыцы ?х, з элементамі, якія належаць D( f ) і адрозніваюцца ад хо, адпаведная паслядоўнасць (f(xn)) збягаецца да А па метрыцы ?y.

Азначэнне 7.2 (паводле Кашы?. Пункт А называецца лімітам адлюстравання f у пункце хо, калі для кожнага дадатнага ліку ? існуе дадатны лік ? такі, што для ўсіх пунктаў х, якія належаць D( f ) і задавальняюць умове 0<?x(x,xo)??, ма месца няроўнасць ?Y(f(x),A)??.

Калі пункт А з’яўляецца лімітам адлюстравання f у пункце хо, то пішуць

Сфармуляваныя вышэй азначэнні сімвалічна запісвюцца наступным чынам.

Азначэнне 7.1*.

? ?(xn) |xnxo, xn?D( f ), xn? xo ? f(xn) A.



Азначэнне 7.2*.

(???0)( ??(?)??)(? x?D( f ) |0< ?X(x,xo)??) ? [ ?Y(f(x),A)??].



Прыклады азначэння 7.2 у розных метрычных прасторах.

7.1. Прастора R2: X = R, Y = R; f: з R R.

? (???0)(??(?)??)(?x?D(f)?0<?X(x,xo ?? )? [?Y(f(x),A)??].

7.2. Прастора R3: X = R2, Y = R, f: з R2 R, x=(x1,x2), xo=(x1o,x2o),x?xo ? ? x1?x1o ? x2 ?x2o.

? (???0)(??(?)??)(?x?D( f )?? ? ) ? [?Y(f(x),A)??].



Тэарэма 7.1. Азначэнні 1 і 2 раўнасільныя.

З доказам можна азнаёміцца у [1 ,ст.22-23].



Азначэнне 7.3. Няхай f – адлюстраванне з метрычнай прасторы X у метрычную прастору У (f: з Х Y), пункт хо?D( f ). Адлюстраванне f называецца непарыўным у пункце хо, калі

(???0)(??(?)??)(? x?D(f)| ?X(x,xo)??)) ? [ ?Y(f(x), f(xо))??].



Заўвага 7.1. У гэтым азначэнні не патрабуецца, каб пункт хо быў лімітавым пунктам D( f ). Ён можа быць і ізаляваным пунктам.

Азначэнне 7.3*. Калі пункт холімітавы пункт D( f ), то адлюстраванне f непарыўнае ў пункце хо тады і толькі тады, калі

Калі пункт хо – ізаляваны пункт D( f ), то адлюстраванне f заўсёды непарыўнае ў пункце хо.



Азначэнне 7.4. Адлюстраванне f: з Х Y называецца непарыўным на мностве Х, калі яно непарыўнае ў кожным пункце гэтага мноства.

Тэарэма 7.2. Адлюстраванне f: з Х Y з’яўляецца непарыўным тады і толькі тады, калі пры гэтым адлюстраванні правобраз кожнага адкрытага (замкнёнага) у У мноства есць мноства адкрытае (замкнёнае) у Х. Гэта значыць, што калі мноства G?Y – адкрытае (замкнёнае) мноства, то мноства f -1(G) – адкрытае (замкнёнае) у Х.

З доказам можна азнаёміцца у [1,cт.24-25]



Азначэнне 7.5. Адлюстраванне f: з Х Y называецца раўнамерна непарыўным на мностве Е?Х, калі

(???0)(????)(? x12?Е | ?X(x1,x2)??) ? [ ?Y(f(x1), f(x2))??].



Заўвага 7.2. Калі адлюстраванне f: з Х Y раўнамерна непарыўнае на мностве Е?Х, то яно і непарыўнае на Е.

Азначэнне 7.6. Метрычная прастора Х называецца злучнай, калі яе нельга прадставіць у выглядзе двух непустых адкрытых (замкнёных) мностваў.

Азначэнне 7.7. Мноства Е?Х называецца злучным у метрычнай прасторы Х, калі злучнай з’яўляецца падпрастора Е метрычнай прасторы Х.

Азначэнне 7.7*. Мноства Е?Х называецца злучным, калі любые два пункты гэтага мноства можна злучыць ламанай, якая цалкам ляжыць у гэтым мностве.

Прыклады: 1) у прасторы R злучным з’яўляюцца інтэрвал, адрэзак, прамень, мноства {3};

2) у прасторы R2кола, кольца;

3) мноства Е = (0,1) ?[3,4] ? R не з’яўляецца злучным мноствам.

Тэарэма 7.3. Калі адлюстраванне f злучнай метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У непарыўнае, то мноства f(X) злучнае ў У.

?ад працілеглага.

Няхай мноства f(X) не з'яўляецца злучным у метрычнай прасторы У. Гэта значыць існуюць два непустых, неперасякальных паміж сабою, адкрытых мностваў М і N такіх, што f(X) = M?N.

Па тэарэме 2 у сілу непарыўнасці адлюстравання f правобразы мностваў М і N (f -1(M) , f -1(N)) будуць адкрытымі. Відавочна, што яны будуць таксама непустымі, неперасякальнымі паміж сабою мноствамі, а іх аб’яднанне роўна Х. Гэта значыць, што яны не з’яўляюцца злучнымі ў Х, але гэта супярэчыць умове тэарэмы аб злучнасці метрычнай прасторы Х.



  1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка