Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§8. Непарыўныя адлюстраванні кампактных прастораў



старонка8/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   16

§8. Непарыўныя адлюстраванні кампактных прастораў

  1. 8.1. Паняцці кампактных прастораў. Неабходныя ўмовы

    1. кампактнасці мностваў


Азначэнне 8.1. Метрычная прастора X = (X, ?) называецца кампактнай або кампактам, калі з любой паслядоўнасці (xn) элементаў гэтай прасторы можна вылучыць падпаслядоўнасць , якая збягаецца да элементу прасторы Х.

Азначэнне 8.2. Мноства Е ? Х называецца кампактным у метрычнай прасторы Х, калі з любой паслядоўнасці элементаў мноства Е можна вылучыць падпаслядоўнасць, якая збягаецца па метрыцы ? да элементу мноства Е або другімі словамі: калі падпрастора (Е, ?) - метрычнай прасторы (X, ?) з’яўляецца кампактам.

Прыклад 8.1. Прастора R не з’яўляецца кампактам, паколькі існуе паслядоўнасць (n), n?N, з якой нельга вылучыць падпаслядоўнасць , якая збягаецца ў R.

Прыклад 8.2. Усякае канечнае мноства Е пунктаў метрычнай прасторы

(X, ?) кампактнае ў гэтай прасторы.



Прыклад 8.3. Е = {3,4,5} ? R; xn=, (xn)?E.

Няхай падпаслядоўнасць (= (3, 3, …,3…)) (n = 2k) імкнецца да ліку 3? калі n?? . Пункт 3 належыць мноству Е? R . Мноства Е кампактнае ў R.



Тэарэма 8.1. Калі мноства Е замкнёнае ў метрычнай прасторы (X,?), то яно кампактнае ў гэтай прасторы [1 ,ст.29].

Прыклад 8.4. Мноствы (a,b), (a,b], не могут быць кампактным мноствамі ў прасторы R, паколькі не з’яўляюцца замкнёнымі.

Тэарэма 8.2 (першая неабходная ўмова кампактнасці). Калі мноства

Е ? Х кампактнае ў метрычнай прасторы (X, ?), то яно замкнёнае ў гэтай прасторы.

?Няхай а – які-небудзь лімітавы пункт мноства Е у метрычнай прасторы (X, ?). Таму можна вылучыць паслядоўнасць (xn)?Е, якая збягаецца да а ў гэтай прасторы (т.5.4). Паколькі Е – кампактнае мноства у метрычнай прастоы (X, ?), то існуе падпаслядоўнасць ? (xn), якая збягаецца да пункта а*?Е па метрыцы ? : ? а*?Е. Вядома, што падпаслядоўнасць збежнай паслядоўнасці збягаецца да таго ж самага ліміту. Такім чынам а*. Паколькі а*?Е, то і а?Е. ?



Тэарэма 8.3 (другая неабходная ўмова кампактнасці). Калі мноства

Е ? Х кампактнае ў метрычнай прасторы (X, ?), то яно абмежаванае ў гэтай прасторы [1 ,ст.30-31].

Заўвага 8.1. Тэарэмы адваротныя тэарэмам 2 і 3 наогул кажучы не маюць месца ў любой метрычнай прасторы.

Тэарэма 8.4 (крытэрый кампактнасці ў Rm). Для таго, каб мноства Е? Rm было кампактным у метрычнай прасторы Rm , неабходна і дастаткова каб яно было замкнёным і абмежаваным у гэтай прасторы.

Доказ неабходнасці вынікае з тэарэм 8.2 і 8.3.

?дастатковасці.

Разгледзім адвольную паслядоўнасць (xn)?Е. Паколькі мноства Е абмежаванае ў метрычнай прасторы Rm па ўмове тэарэмы, то і паслядоўнасць (xn) абмежаваная. Таму па тэарэме Бальцана-Вайерштраса з яе можна вылучыць падпаслядоўнасць, якая збягаецца да некаторага ліку а. Гэты лік з’яўляецца лімітавым пунктам для паслядоўнасці ? Е, а таму і для мноства Е. У сілу замкнёнасці мноства Е?Х, лік а?Е, падпаслядоўнасць збягаецца да ліку а?Е, то мноства Е кампактнае мноства па азначэнню (8.2).



Прыклад 8.5. Мноства Е=[0,1]?{5}?R – кампактнае мноства.

Прыклад 8.6. Замкнёны шар у прасторы Rmкампактнае мноства.

Прыклад 8.7. Мноства {1/n, n?N}?R не будзе кампактным мноствам, паколькі яно не з’яўляецца замкнёным.
    1. 8.2 Непарыўныя адлюстраванні кампактных мностваўі іх уласцівасці


Тэарэма 8.5. Няхай f – непарыўнае адлюстраванне метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У ( f :Х У). Калі мноства Е?Х – кампактнае мноства у метрычнай прасторы Х , то ягo вобраз f(E) - кампактнае мноства у метрычнай прасторы У.

Прыклад 8.5. Няхай задана адлюстраванне f: з R R; X = R, Y=R.

f(x) = x2; D( f ) =[1,2]?R кампактнае мноства у метрычнай прасторы Х; E( f ) = [1,4]? R кампактнае мноства у прасторы У.

Тэарэма 8.6. Калі адлюстраванне f :X Y непарыўнае на кампактным мностве Е?Х, то яно раўнамерна непарыўнае на кампактным мностве Е.

Заўвага 8.2. Тэарэма 8.6 абагульняе тэарэму Кантара для сапраўднай функцыі адной сапраўднай зменнай.

Азначэнне 8.3. Няхай задана мноства Е?Х Адлюстраванне f :з Х У называецца абмежаваным, калі вобраз мноства Е: f(E) – мноства абмежаванае у У.

Тэарэма 8.7 тэарэма Вайерштраса ). Калі адлюстраванне f кампактнай метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У непарыўнае, то яно абмежаванае.

?У сілу тэарэмы 8.5 мноства f(X) кампактнае ў метрычнай прасторы У і таму па тэарэме 8.3 яно абмежаванае. ?

Нагадаем уласцівасці дакладнай верхняй (ніжняй) мяжы лікавых мностваў.

Для дакладнай верхняй (ніжняй) мяжы ? мноства Е? R выконваюцца наступныя умовы:



  1. ?х?Е ? х?? (х??);

  2. ???? ? х? Е, што х >??? ?x????).

Лема 8.1. Замкнёнае абмежаванае зверху (знізу) лікавае мноства E? R утрымлівае сваю дакладную верхнюю (ніжнюю) мяжу.

Азначэнне 8.5. Няхай f - адлюстраванне метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У. Кажуць, што f прымае найбольшае (найменьшае) значэнне ў пункце х0 , калі для ? х? Х выконваецца няроўнасць

f(x) ? f(xo) (f(x) ? f(xo)).

Тэарэма 8.8 (другая тэарэма Вайерштраса для кампактных мностваў). Калі адлюстраванне f кампактнай метрычнай прасторы Х у метрычную прастору R непарыўнае, то яно мае сваё найбольшае і найменьшае значэнні ў метрычнай прасторы Х.

?Па тэарэме 8.5 вобраз кампактнага мноства Х пры непарыўным адлюстраванні f - кампактнае мноства f(X) у метрычнай прасторы R. Таму па тэарэмам 8.2 і 8.3 яно будзе абмежаваным і замкнёным у R.Адпаведна лемы 8.1 яно утрымлівае сваю дакладную верхнюю мяжу ?: ? пункт хо?Х такі, што f(xo)=?. Па уласцівасці верхняй дакладнай мяжы f(x)?? ?x?X ? f(x)? f(xo) ?x?X. Па азначэнню8.5 адлюстраванне f мае найбольшае значэнне . ?

Аналагічна даказываецца што адлюстраванне f мае найменьшае значэнне.

Азначэнне 8.6. Адлюстраванне f метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У называецца ўзаемна адназначным, калі:

1) кожнаму элементу х ?Х адпавядае адзіны элемнт у?У і

2) кожнаму элементу у?У адпавядае адзіны элемнт х ?Х.

Тэарэма 8.9. Няхай f – узаемна адназначнае адлюстраванне метрычнай прасторы Х у метрычную прастору У. Калі f – непарыўнае адлюстраванне, то і адваротнае адлюстраванне f -1 таксама непарыўнае. [1 ,ст.33].


  1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка