Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


§9. Прынцып Банаха сціскальных адлюстраванняў



старонка9/16
Дата канвертавання30.06.2016
Памер1.76 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16

§9. Прынцып Банаха сціскальных адлюстраванняў


Нагадаем азначэнні §6 і тэарэмы, якія нам прыйдзецца скарыстаць у гэтым параграфу.

Азначэнне 9.1. Паслядоўнасць (xn) метрычнай прасторы (Х, ?) называецца фундаментальнай, калі (???0)( ?N??n,m > N) ? [?(xm,xn)??].

Азначэнне 9.2. Метрычная прастора называецца поўнай метрычнай прасторай, калі любая паслядоўнасць пунктаў гэтай прасторы збягаецца ў ёй.

Тэарэма 9.1. Няхай (Е, ?х) – падпрастора поўнай метрычнай прасторы

(Х, ?х). Калі мноства Е замкнёнае, то (Е, ?х) - таксама поўная метрычная прастора.



Азначэнне 9.3. Пункт ?Х называецца нерухомым пунктам адлюстравання f метрычнай прасторы (Х, ?х) у сябе (f: Х Х), калі f() =.

Прыклад 9.1. Разгледзім адрэзак [a,b] ? R. Сціснем яго так, каб канцы перамясціліся адпаведна у a1 і b1, затым – у a2 і b2, .... Інтуітыўна можна дапусціць, што існуе пункт с??a, b?, які застанецца нерухомым.

Такім чынам, кожнаму пункту х??a, b? паставілі ў адпаведнасць функцыю f(x) ??a, b?, якая з’яўляецца адлюстраваннем пункта х: a1= f(a), a2=f(a1),…,



b2= f(b1), b1= f(b). Калі нерухомы пункт існуе, то х= f(х).

Азначэнне 9.4. Адлюстраванне метрычнай прасторы Х у сябе называецца сціскальным, калі існуе лік ? (0 < ? < 1) такі, што ?х12?Х выконваецца няроўнаць ?? f(x1),f(x2) ) ? ???x1, x2?. (9.1)
    1. Асноўныя ўласцівасці сціскальных адлюстраванняў


Тэарэма 9.2. Усякае сціскальнае адлюстраванне метрычнай прасторы Х у сябе непарыўнае на мностве Х.

?Выбярэм любы пункт хо?Х і дакажам, што

(????)(?????>0 (? =?/?))(?x ?Х? ?x?xo,x??? =?/?)? [ ?x? f(xo),f(x? )< ?].

З няроўнасці (9.1) вынікае, што ?x? f(xo),f(x?)? ??x?xo,x? < ???/? = ?.

Адлюстраванне f непарыўнае на мностве Х, паколькі яно непарыўнае ў любым пункце х0 гэтага мноства. ?

Тэарэма 9.3 ( прынцып сціскальных адлюстраванняў). Усякае сціскальнае адлюстраванне поўнай метрычнай прасторы (Х, ?) у сябе ( f: Х Х ) мае нерухомы пункт і толькі адзіны.

Заўвага. Х не з’яўляецца пустым мноствам.

?Выбярэм любы пункт х0??Х і пабудуем паслядоўнасць (хn) па правілу:



x1 = f(xo), x2 = f(x1), x3=f(x2),…, xn=f(xn-1). (9.2)

Дакажам, што паслядоўнасць (xn) фундаментальная, г.зн.

(???0)( ?N??n,m > N) ? [?(xm,xn)??].

Абазначым ?(x1,xо)=d (9.3). Па ўмове тэарэмы f – сціскальнае адлюстраванне. Скарыстаем няроўнасць (9.1) і абазначэнне (9.3).Будзем мець:

?? f(x1),f(xо)) = ??x2, x1? ? ???x1, xо? = ? d,

?? f(x2),f(x1)) =??x3, x2? ? ???x2, x1? ? ?2??x1, xo? =?2d,

?? f(x3),f(x2)) ? ???x3, x2? ? ?2??x2, x1? = ?3d і г.д.

Карыстаючыся метадам матэматычнай індукцыі можна даказаць, што ?(xn+1,xn ) ? ?nd ?n?N. (9.4)

Выбярэм адвольныя натуральныя лікі m i n (m>n) і ацэнім ??xm, xn?, скарыстаўшы няроўнасць трохвугольніка і няроўнасць (9.1).Атрымаем:

??xn, xm? ???xn, xm-1? + ??xm-1, xm? ? ??xn, xn+1? + ??xn+1, xm-1? +

+ ??xm-1, xm? ???xn, xn+1? + ??xn+1, xn+2? + …+ ??xm-2, xm-1? + ??xm-1, xm? ?

? ?nd + ?n+1 d +…+ ?m-1d = d(?n + ?n+1 +…+ ?m-1) = d ?

? ??xn, xm? ? d .

Паколькі 0 < ? < 1, то ?n + ?n+1 +…+ ?m-1 - сума элементаў бясконца ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі.

Таму ??xn, xm? ? d (9.5). Ліміт паслядоўнасці роўны 0, калі n??. Гэта значыць, што паслядоўнасць бясконца малая, і таму

???? ???????n?? ? < ?. (9.6)

З няроўнасцей (9.5) і (9.6) вынікае ??xn, xm?<?. А гэта значыць,што



???0 ?N??n,m > N ? ?(xm,xn)??.

Такім чынам, паслядоўнасць (9.2) фундаментальная. ?

? што паслядоўнасць (9.2) збягаецца да ліку .

Па ўмове тэарэмы (Х, ?) - поўная метрычная прастора, (хn) – любая яе фундаментальная паслядоўнасць і таму яна павінна збягацца да элемента прасторы (Х, ?), а г.зн. існуе пункт ?Х такі, што





(9.7)

? што - нерухомы пункт.

З роўнасці (9.7) вынікае, што а адпаведна роўнасцям (9.2)



f(xn-1) = xn . Таму

У сілу тэарэмы (9.2) усякае сціскальнае адлюстраванне зяўляецца непарыўным. Таму Гэта даказвае нерухомасць пункта . ?

? адзінасць нерухомага пункта.

Няхай ёсць яшчэ нерухомы пункт х*. Такім чынам існуюць два пункты , х*?X такіе, што f() = і f(x*) = x*.

Тады

??, x*?=??f(), f(x*?) ? ???, x*? ??(, x*)? ???, x*? ??(, x*)(1? ?) ? 0. Але гэты здабытак можа быць толькі неадмоўным, паколькі ?(, x*) ? 0 і



0 < ? < 1. Такім чынам = x*. ?

Заўвага. Метад знаходжання нерухомага пункта называецца метадам ітэрацыі, або метадам паслядоўных набліжанняў.

Гэтым метадам можна карыстацца пры доказе таго факту, што раўнанне мае адзінае рашэнне як для звычайных алгебраічных раўнанняў, так і для дыферэнцыяльных раўнанняў.



Прыклад. Няхай f – функцыя - адлюстраванне адрэзка [a,b] у адрэзак [a,b], задана формулай f(x) = x (9.8). Гэта функцыя дыферэнцавальная, а яе вытворная здавальняе ўмову:

?f’(x)?? ? (0 < ? < 1) ?x ?[a,b].

Дакажам, што раўнанне мае адзінае рашэнне.

?[a,b] – замкнёнае мноства поўнай метрычнай прасторы R і таму падпрастора Х = ([a,b] , ?(x,y) = ?х?у?) - поўная метрычная прастора. Функцыя f задавальняе ўмовам тэарэмы Лагранжа на [a,b] :



?x1,x2??a,b? ??f(x1) – f(x2)???f’(?)???x1? x2?? ??x1? x2?.

На падставе азначэння 9.4 f – сціскальнае адлюстраванне поўнай метрычнай прасторы ў сябе. Таму па тэарэме Банаха існуе адзіны пункт ?[a,b], для якога f() =. Гэты пункт знаходзіцца з дапамогаю паслядоўнасці (9.2). ?



  1. : Matherials -> Mathem -> %D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х
    %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тематический план (заочное отделение) Уводзіны ў аналіз. I семестр
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Раздзел: вызначаны інтэграл, шэрагі, асноўныя структуры матэматычнага аналіза
    2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці


1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка