Дадзены вучэбны дапаможнік змяшчае тэарэтычны выклад звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў для студэнтаў матэматычнага і фізіка-матэматычнага факультэтаў педуніверсітэта



старонка1/18
Дата канвертавання13.06.2016
Памер1.63 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18
  1. Прадмова


Дадзены вучэбны дапаможнік змяшчае тэарэтычны выклад звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў для студэнтаў матэматычнага і фізіка-матэматычнага факультэтаў педуніверсітэта.

Асноўная мэта, якая была пастаўлена аўтарамі – даць па магчымасці цэласнае прадстаўленне аб прадмеце і метадах тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў; аб метадах інтэгравання тых тыпаў дыферэнцыяльных раўнанняў, якія найбольш часта сустракаюцца ў практыцы, а таксама аб задачах агульнай тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў.

У тэорыі звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў шырока выкарыс­тоўваюцца многія факты матэматычнага аналіза. Таму студэнту перед тым, як пачаць вывучаць тэарэтычны матэрыял, неабходна ўспомніць: 1) уласцівасці непарыўных і дыферэнцавальных функцый; 2) класы функцый, якія інтэ­гра­вальныя па Рыману; 3) крывалінейныя інтэгралы; 4) поўныя метрычныя прас­торы і прынцып Банаха сціскання адлюстраванняў. З гэтай мэтай можна ска­рыстацца падручнікамі [5, 11, 16, 19]. Вывучэнне тэорыі звычайных дыфе­рэнцыяльных раўнанняў патрэбна пачаць з разгледжання прыкладаў задач, якія прыводзяць да дыферэнцыяльных раўнанняў. Безліч такіх задач змяшчаецца ў літаратуры, якая прыводзіцца ў канцы дапаможніка [1, 2, 3, 9, 12, 14, 18]. Пасля гэтага можна перайсці да вывучэння асноўных паняццяў і метадаў інтэгравання звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў; к доказу тэарэмы Пікара аб існаванні і адзінасці рашэння задачы Кашы для звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў, а таксама да вывучэння лінейных дыферэнцыяльных раўнанняў і сістэм звы­чайных дыферэнцыяльных раўнанняў.

Дадзены дапаможнік падрыхтаваны на выснове вопыта выкладання курса “Дыферэнцыяльныя раўнанні” на матэматычным факультэце. Змест дапа­мож­ніка змяшчае з некаторым пашырэннем увесь матэрыял вучэбнай праграмы кур­са дыферэнцыяльных раўнанняў, што дазволіць выкладчыку эфектыўна арга­нізаваць самастойную работу як студэнтаў дзённага адзялення, так і студэнтаў-завочнікаў.

Больш дакладна з тэорыяй дыферэнцыяльных раўнання можна азнаёміцца па літаратуры, якая прыведзена ў канцы дапаможніка.

  1. § 1. Агульныя паняцці. Прыклады


У інтэгральным злічэнні вырашалася задача аб знаходжанні функцыі па яе вытворнай. Гэту задачу можна сфармулявать наступным чынам: знайсці функцыю у(х), якая задавальняе на некаторым прамежку І раўнанню у'=f(x), дзе f – зададзеная функцыя.

Можна паставіць больш агульную задачу: няхай F – функцыя (n+2) зменных, і патрабуецца знайсці функцыю у(х), якая задавальняе на некаторым прамежку І раўнанню F( x, y(x), y'(x),…, y(n)(x))=0.



Азначэнне 1.1. Звычайным дыферэнцыяльным раўнаннем называецца судачыненне выгляду




F(x,y(x),y'(x),…,y(n)(x))=0,

(1)

дзе F – вядомая функцыя, х – незалежная зменная, у(х) – невядомая функцыя.

Заўвага. Раўнанне для вызначэння функцыі адносяць да дыферэн­цы­яль­ных, калі ў ім удзельнічаюць дыферэнцыялы ці вытворныя шуканай функцыі. Ка­лі шуканая функцыя залежыць ад аднаго аргумента, тады дыферэнцыяльнае раў­нанне называюць звычайным дыферэнцыяльным раўненнем і абазначаюць ЗДА.

Азначэнне 1.2. Парадкам дыферэнцыяльнага раўнання называецца най­вы­шэйшы парадак вытворнай невядомай функцыі у= у(х), якая ўваходзіць у раўнанне.

Прыклад 1.1. Вызначыць парадак дыферэнцыяльнага раўнання:

  1. y"-3у' +2y - 4=0;

  2. x (1+x) y'-(1+2x) y-(1+2x)=0;

  3. y(4)-16y"=0.

Рашэнне. Першае раўнанне з'яўляецца дыферэнцыяльным раўнаннем другога парадку, паколькі найвышэйшы парадак вытворнай невядомай функцыі роўны 2; другое раўнанне – першага парадку, паколькі яно змяшчае толькі першую вытворную. (Заўважым, што ў першым раўнанні каэфіцыенты пры у, у', у" і свабодны член з'яўляюцца лікамі, а ў другім раўнанні яны залежаць ад х.) Апошняе раўнанне з'яўляецца раўнаннем чацвертага парадку, паколькі парадак найвышэйшай вытворнай роўны 4. (Гэта раўнанне не змяшчае у, у' і у"'.)

Азначэнне 1.3. Функцыя у(х) называецца рашэннем дыферэнцыяльнага раўнання, калі яна n разоў непарыўна дыферэнцавальная на некаторым прамежку І і, калі хÎІ, функцыя у(х) задавальняе раўнанню (1).

Прыклад 1.2. Паказаць, што функцыя y=sinx з'яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага раўнання у"+у = 0 на мностве сапраўдных лікаў R.

Рашэнне. Знойдзем вытворную функцыі y=sinx другога парадку:

y'=cosx, y"=-sinx, дзе хÎR.

Падставім выраз для у і у" у дыферэнцыяльнае раўнанне, атрымаем роўнасць у"+у=-sinx+sinx=0. А гэта азначае, што функцыя у=sinx з'яўляецца рашэннем дадзенага дыферэнцыяльнага раўнання. Можна праверыць, што дадзенае дыферэнцыяльнае раўнанне на мностве R мае яшчэ рашэнне y=cosx. А таксама можна праверыць, што рашэннем дадзенага дыферэнцыяльнага раўнання з'яўляецца кожная функцыя, якая вызначаецца формулай:



у=C1sinx+C2cosx, дзе С1 і С2 некаторыя адвольныя сталыя.

Можна даказаць, што іншых рашэнняў няма.

Працэс знаходжання рашэння дыферэнцыяльнага раўнання называецца інтэграваннем дыферэнцыяльнага раўнання.

Азначэнне 1.4. Графік рашэння дыферэнцыяльнага раўнання называецца інтэгральнай крывой гэтага раўнання.

Многія задачы прыродазнаўства прыводзяць да звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў. Разгледзім некаторыя з іх.



Задача аб руху матэрыяльнага пункта массы m пад уздзеяннем вонкавых сіл.

Гэты рух апісваецца другім законам Ньютана: ma=F.

Няхай пункт рухаецца па восі х і x(t) – яго абсцыса ў момант часу t. Тады функцыя x(t) задавальняе дыферэнцыяльнаму раўнанню другога парадку







(2)





Калі пункт рухаецца ў трохмернай прасторы і – яго радыус-вектар. Тады
Гэта судачыненне – сістэма трох звычайных дыферэнцыяльных раў­нан­няў з трыма невядомымі функцыямі x(t), y(t), z(t).

Каб вызначыць становішча пункта ў момант часу t неабходна, як вядома з механікі, ведаць становішча і хуткасць у некаторы пачатковы момант часу t0. Так, каб вылучыць адзінае рашэнне раўнання Ньютана , неабходна задаць пачатковыя дадзеныя






x(t0)=x0,







Заўвага. Калі задачу аб знаходжанні ўсіх рашэнняў дыферэнцыяльнага раўнання ўдаецца звесці да вылічэння канечнага ліку інтэгралаў і вытворных ад вядомых функцый, а таксама ад алгебраічных аперацый над імі, тады гавораць, што раўнанне інтэгруецца ў квадратурах. Клас гэтых раўнанняў вельмі вузкі.
Напрыклад, раўнанне (2) інтэгруецца ў квадратурах толькі калі правая частка раўнання – функцыя F залежыць толькі ад адной зменнай:
Прыклад 1.3. Ці з'яўляецца дыферэнцыяльнае раўнанне у'=sinx/x інтэгравальным у квадратурах.

Рашэнне. Мноства ўсіх рашэнняў дадзенага дыферэнцыяльнага раўнання задаецца формулай дзе С – адвольная сталая. Атрымалі, што дадзенае раўнанне інтэгруецца ў квадратурах.

Задачай тэорыі звычайных дэферэнцыяльных раўнанняў з’яўляецца знаходжанне рашэнняў дыферэнцыяльных раўнанняў, даследаванне агульных уласцівасцяў рашэнняў і развіццё дакладных, асімпатычных і лікавых метадаў інтэгравання дыферэнцыяльных раўнанняў.



: Matherials -> Mathem -> %D0%A5%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%93%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%95%D0%B2%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Інтэграванне функцый некалькіх зменных падвоены інтэграл І яго ўласцівасці. П паняцце падвоенага інтэграла
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тэма 1: Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла Азначэнне 1
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Пытанні да экзамена
2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> Змест дапаможніка адпавядае праграме курса матэматычнага аналізу
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Пытанні да заліка лікавыя шэрагі


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка