I. Мноствы і аперацыі над імі. Паняцце мноства. Элемент мноства. Пустое мноства



старонка1/3
Дата канвертавання15.05.2016
Памер0.72 Mb.
ТыпГлава
  1   2   3


Глава I. Мноствы і аперацыі над імі.

Паняцце мноства. Элемент мноства. Пустое мноства.

Мноства – гэта паняцце неазначаемае (першаснае, асноўнае).

Уяўленне аб ім мы атрымліваем на прыкладах: мноства навучэнцаў групы, мноства дрэў у садзе, мноства рашэнняў ураўнення.

Азначэнне. Аб’екты любой прыроды, якія складаюць мноства, называюць элементамі.

Прынята абазначаць мноствы вялікімі літарамі лацінскага алфавіта, а элементы – маленькімі.

Паміж мноствам і яго элементамі існуе сувязь, якую можна выразіць словам "належыць".

Абазначэнне: а А. Гэты запіс чытаюць: “Элемент а належыць мноству А”, ці “аб’ект а з’яўляецца элементам мноства А”, ці “ мноства А змяшчае элемент а”. Калі а не ўваходзіць у мноства А, то пішуць: а А.



Элемент мноства сам можа быць мноствам. Разгледзім мноства дамоў горада. Любы асобна ўзяты дом з’яўляецца элементам гэтага мноства. У сваю чаргу дом можна разглядаць як мноства кватэр. Важна адзначыць пры гэтым, што кватэры не з’яўляюцца элементамі мноства дамоў горада.

Мноствы могуць мець:

1.Бясконцы лік элементаў: мноства натуральных лікаў;

2.Канечны лік элементаў: мноства старонак у кнізе;

Складацца з аднаго элемента: мноства галосных літар у слове “сто”;

3.Не мець ні аднаго элемента: мноства вішань на яблыні, мноства сапраўдных каранёў квадратнага ўраўнення з адмоўным дыскрымінантам. У гэтым выпадку мноства называецца пустым і абазначаецца: .


Спосабы задання і запісу мностваў.

Мноства лічыцца зададзеным, калі пра любы аб’ект можна сказаць: належыць ён дадзенаму мносту ці не ( гэта значыць, што мы ведаем усе элементы дадзенага мноства). Існуюць два асноўных спосабы задання мностваў:

1.Пералічэнне ўсіх элементаў мностваў:

Прыклад запісу: А = {a, b, c}.

2.Зазначэнне агульнай уласцівасці ўсіх элементаў мноства. Такую ўласцівасць называюць характарыстычнай.

Прыклад 1. Акружнасцю называецца мноства пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад аднаго пункта (цэнтра). Агульным для ўсіх пунктаў з’яўляецца тое, што яны ляжаць у адной плоскасці і знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад цэнтра.

Прыклад 2. Мноства А – гэта мноства натуральных лікаў, меншых за 5. Гэта мноства можна запісаць так: А = {х|х – натуральны лік, х 5}.

Гэта значыць, у фігурных дужках пішуць адзнакі элементаў, а пасля вертыкальнай рыскі іх характарыстычныя ўласцівасці. Апошняе мноства можна запісаць і так: А = {1; 2; 3; 4}.

Другі спосаб задання мностваў з’яўляецца больш агульным, бо ён прыдатны для задання як канечных, так і бясконцых мностваў. Зрэдку з дапамогай

першага спосабу запісваюць і бясконцыя мноствы ( пры гэтым трэба ведаць, што таіцца пад шматкроп’ем):



N = { 1; 2; 3; 4; 5; ...}.

Пры запісу мностваў кожны элемент запісваецца толькі адзін раз.



Прыклад. Запісаць мноства літар у слове “арка”. С = { а; р; к }.

На тэарэтыка-множнай аснове ў навучэнцаў пачатковых класаў фарміруюцца паняцці натуральнага ліку, складання, адымання, дзялення лікаў, а таксама геаметрычнай фігуры.

Для лікавых мностваў, якія найбольш часта выкарыстоўваюцца, прыняты наступныя адзнакі:

N – мноства натуральных лікаў, N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... },

No – мноства цэлых неадмоўных лікаў, No = {0, 1, 2,… } ,

Z - мноства цэлых лікаў, Z ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...},

Q – мноства рацыянальных лікаў, Q = { , m  , n N },

I - мноства іррацыянальных лікаў, I = {x|x – бясконцы неперыядычны

дзесятковы дроб },



R – мноства сапраўдных лікаў, R = Q і I.

Роўныя мноствы.

Азначэнне 1. Мноствы, якія складаюцца з аднолькавых элементаў, называюць роўнымі.

Парадак запісу элементаў мноства не мае значэння.



Прыклад. Сярод наступных мностваў вызначце роўныя:

A = { 2, 3, 6 }, B = { 3, 6, 9 }, C = { 6, 3, 2 }, D = { 0, 3, 6 }, K = { 9, 3, 6 }.

Маем: А = С, В = К.

Адно і тое ж мноства можна задаць рознымі спосабамі.

Азначэнне 2. Калі кожны (а значыць і ўсе) элемент мноства А належыць мноству В, а кожны (усе) элемент мноства В належыць мноству А , то мноствы А і В роўныя: А = В.

Падмноства.

Азначэнне 1. Частку мноства называюць падмноствам.

Азначэнне 2. Калі кожны элемент мноства В належыць мноству А, то В называюць падмноствам мноства А.

Гэта запісваюць: В А (ці А В) .



Прыклад. Запісаць некаторыя падмноствы мноства А:

A = {1, 2, 3, 4, 5} . B = { 4, 3 }, C = {3, 2, 4, 1}, D = { 4, 3, 2, 5, 1}.

B  A, C  A, D  A.

Прынята лічыць, што для любога мноства А мноствы А і з’яўляюцца яго падмноствамі, г.зн. А А, А .

Гэтыя два падмноствы называюць няўласнымі (няправільнымі). Усе астатнія падмноствы – уласныя (правільныя).

Гаворачы пра падмноствы дадзенага мноства, мы лічым, што ўсе разглядаемыя мноствы складаюцца з элементаў аднолькавай прыроды.


Выкарыстоўваючы азначэнне падмноства, азначэнне роўных мностваў можна запісаць так:

Азначэнне. Калі А В і В А, то А = В.

Заўвага. Лёгка паказаць: калі А В і В С, то А С.

У геаметрыі любое непустое мноства пунктаў называюць геаметрычнай фігурай.

Калі F1 F2 , то гавораць, што фігура F1 з’яўляецца часткай фігуры F2 . Паняцце часткі фігуры часта выкарыстоўваецца пры вызначэнні новых фігур: адрэзак – частка прамой і інш.


Кругі Эйлера. Універсальнае мноства.
Мноства будзем перадаваць пры дапамозе кругоў. Пры тым лічаць, што элементы знаходзяцца ўнутры круга. Іх можна абазначаць пунктамі ці не абазначаць увогуле. Такія кругі называюць кругамі Эйлера.

Прыклад 1. Перадаць мноства натуральных лікаў, якія дзеляцца на 11. Указаць пунктамі размяшчэнне лікаў: 6, 11, 13, 21, 33, 222, 111, 352.


Прыклад 2.Перадаць пры дапамозе кругоў Эйлера мноства А і В такія, што АВ.


Азн. Мноства называюць універсальным, калі ў дадзенай сітуацыі ўсе іншыя разглядаемыя мноствы з’яўляюцца яго падмноствамі.

Прынята абазначаць яго літарай I і перадаваць у выглядзе не круга, а прамавугольніка.



Прыклад. I – мноства кніг у школьнай бібліятэцы. А – мноства кніг па матэматыцы, В – па фізіцы, С – па геаметрыі. Перадайце гэтыя мноствы пры дапамозе кругоў Эйлера.



Перасячэнне мностваў.
Азн. Перасячэннем мностваў А і В называецца мноства, якое складаецца з элементаў, якія належаць мноствам А і В адначасова.

Абазначэнне: А В – перасячэнне мностваў А і В.

Аналагічна вызначаецца перасячэнне 3-х і больш мностваў.



Прыклад. А = { 1, 2, 3}, B = { 2, 3, 4}. Значыць А В = { 2,3}.

Калі мноствы А и В не маюць агульных элементаў, то іх перасячэнне пустое:



А В = . У гэтым выпадку гавораць, што мноствы А і В не перасякаюцца.

Перададзім графічна перасячэнне мностваў:




А В = А В (перасячэнне заштрыхавана).
Аперацыя перасячэння мностваў валодае наступнымі ўласцівасцямі:

1.Камутатыўнай (перамяшчальнай): А В = В А.

2.Асацыятыўнай (спалучальнай): В) С = А С).
Гэта дазваляе запісваць выраз А В С без дужак і знаходзіць перасячэнне любога ліку мностваў.
Апошняя ўласцівасць наглядна адлюстроўваецца пры дапамозе кругоў Эйлера. Параўноўваючы вобласці, якія перадаюць левую і правую часткі апошняй роўнасці (заштрыхаваныя двойчы), пераконваемся ў яе праўдзівасці.









Прыклад 1. Знайсці, чаму роўна перасячэнне мностваў А і В, калі А В. Пры дапамозе кругоў Эйлера лёгка вызначыць: калі А В, то А В = А.



Прыклад 2. Знайсці, чаму роўна А А і А.

Выкарыстоўваючы азначэнне перасячэння ці прыклад 1, атрымліваем, што А А = А, А = .


Аб’яднанне мностваў.
Азн. Аб’яднаннем мностваў А і В называецца мноства, якое складаецца з элементаў, якія належаць хоць бы аднаму з гэтых мностваў.

Абазначэнне: А В – аб’яднанне мностваў А і В .



Прыклад. А = {1,2,3}, B = {2, 3, 6, 7}. Значыць А В = {1, 2, 3, 6,7 }.

Перададзім графічна аб’яднанне мностваў:





Аперацыя аб’яднання мностваў валодае наступнымі ўласцівасцямі:

1.Камутатыўнасцю: А В = В А.

2.Асацыятыўнасцю: В) С = А С).

3.Сувязь паміж аперацыямі перасячэння і аб’яднання мностваў адлюстроўваюць уласцівасці дыстрыбутыўнасці:

а) А С) = (А В) С);

б) А С) = (А В) С).

Гэтыя уласцівасці наглядна ілюструюцца пры дапамозе кругоў Эйлера (перадайце і параўнайце мноствы самастойна).



Прыклад 1. Знайсці аб’яднанне мностваў А, В калі А В. Лёгка пераканацца: калі А В, то А В = В.

Усё што заштрыхавана хоць адзін раз, ёсць А В.



Прыклад 2. Знайсці ,чаму роўна А А і А.

Выкарыстоўваючы азначэнне аб’яднання ці прыклад 1, атрымліваем,

што А А = А, А = А.

Заўвага. Калі мноствы А і В зададзены указаннем характарыстычных уласцівасцей іх элементаў, то:

1.У перасячэнне А В увайдуць тыя элементы, якія валодаюць ўласцівасцямі як элементаў мноства А, так і уласцівасцямі элементаў мноства В адначасова.

2.У аб’яднанне А В увайдуць элементы, якія валодаюць уласцівасцямі элементаў хоць бы аднаго з мностваў.
Рознасць мностваў. Дадатак да падмноства.

Азн. Рознасцю мностваў А і В называюць мноства, у якое ўваходзяць элементы мноства А, якія не належаць мноству В.

Абазначэнне: А \ В – рознасць мностваў А і В.

Перададзім А \ В графічна:

1. А 2. А 3.

А А\В=ВА



В

Азн. Калі В з’яўляецца падмноствам мноства А, то рознасць А \ В называюць таксама дадаткам да мноства В у мностве А.






Абазначэнне. ВА або ВА´ (дадатак да В у мностве I запісваюць: В).

Важна падкрэсліць, што рознасць двух мностваў А і В існуе заўжды, а дадаткам яе называюць толькі ў тым выпадку, калі В з’яўляецца падмноствам мноства А.



Прыклад. А = {a, b, c, d}, B = {b, c}. Зразумела, што В А.

Маем: А \ В = ВА = {a,d}.

На практыцы для таго, каб знайсці дадатак да мноства В у мностве А (рознасць А \ В), патрэбна з мноства А выдаліть элементы, якія ёсць у мностве В.

Прыклад. У круг упісаны квадрат. У мностве пунктаў дадзенага круга знайсці дадатак да мноства пунктаў квадрата.

Заштрыхаванае мноства з’яўляецца шукаемым.

____________________________________________________________________

Аперацыі над мноствамі выконваюцца (пры адсутнасці дужак) у наступным парадку: перасячэнне, аб’яднанне, рознасць. ____________________________________________________________________

Для любых падмностваў А і В універсальнага мноства I маюць месца наступныя роўнасці:

а) В)´ = А´ В´;

в) В)´ = А´ В´.

Выкарыстоўваючы азначэнне аперацый над мноствамі, пакажам, што мноствы В)´ і А´ В´ складаюцца з аднолькавых элементаў.

Няхай х В)´==> х А В ==> х А і х В==>

==> х А´ і х В´==>хА´ В´.

Няхай х А´ В´ ==> х А´ і х В´==> х А і х В==>



==> х  А  В ==> х  (А  В)´.

Такім чынам В)´ = А´ В´ .


Другая роўнасць даказваецца аналагічна. Такім жа спосабам можна даказаць разглядаемыя вышэй уласцівасці аб’яднання, перасячэння, рознасці мностваў, іншыя роўнасці мностваў.

Картэж. Паняцце пары.
Вядома, што кожны элемент уваходзіць у мноства толькі адзін раз, прычым парадак запісу не мае істотнага значэння.

Азн. Набор лічбаў ці іншых аб’ектаў, калі важны іх парадак і яны могуць паўтарацца, называецца картэжам.

Аб’екты, якія ўваходзяць у картэж, называюцца кампанентамі ці каардынатамі картэжа.

Запісваць картэж будзем пры дапамозе вуглавых ці круглых дужак.



Прыклад. Запішыце мноства і картэж літар слова “Паралелаграм”

а) А = {п, а, р, е, л, г, м}

б) (п, а, р, а, л, е, л, а, г, р, а, м).

Азн. Лік кампанентаў картэжа называюць яго даўжынёй.

Два картэжы (а1, а2, . . . , аn) і (в1, в2, . . . , вm) называюць роўнымі, калі яны маюць аднолькавую даўжыню (г.з. n = m) і на аднолькавых месцах стаяць роўныя кампаненты (г.з. а1 = в1, а2 = в2, . . . , аn = вm).



Прыклад. Картэжы (а, в, с) і ( а, в, с) роўныя, а (а, в, с) і (а, с, в) няроўныя, таксама як і (а, в, с) ≠ (а, в, с, с).

Азн. Картэж даўжыні 2 называюць упарадкаванай парай.

Раз пара – гэта картэж, то кампаненты пары могуць быць аднолькавымі і



(х, у) ≠ (у, х).

Прыклад. Пабудуйце ў прамавугольнай сістэме каардынат пункты, каардынаты якіх ёсць пары лікаў: (1, 2), (2, 1), (0, -5), (4, 0), (0, 0), (-2, -3).



















Дэкартавы здабытак мностваў.

Азн. Дэкартавым здабыткам мностваў Х і У называюць мноства, якое складаецца з усіх пар ( х, у), дзе х Х, у У.

Абазначэнне: Х × У.

Такім чынам: Х × У = {(х, у) | х Х, у У}.



Прыклад: Знайсці дэкартавы здабытак мностваў А і В, калі

А = {а, в}, В ={1, 2, 3}.

А × В = {(а, 1), (а, 2), (а, 3), (в, 1), (в, 2), (в, 3)}.

Дэкартавы здабытак зручна запісваць у выглядзе табліцы:




А\В

1

2

3

а

(а, 1)

(а, 2)

(а, 3)

в

(в, 1)

(в, 2)

(а, 3)

Дэкартавы здабытак мностваў камутатыўнай уласцівасцю не валодае,

г.зн. А × В ≠ В × А.

Так, у разглядаемым прыкладзе В × А ={(1, а), (2, а), (3, а), (1, в), (2, в),


(3, в)}. Параўноўваючы мноствы А × В і В × А, пераконваемся, што яны складаюцца з розных элементаў: (а, 1) ≠ (1, а) і г.д.

Аналагічна вызначаецца дэкартавы здабытак Х × Х:



Х × Х = {(х, у)| х  Х, у  Х}.

Перадаючы элементы мностваў А і В пунктамі на дзвюх узаемна перпендыкулярных прамых, можна паказаць дэкартавы здабытак мностваў графічна.

Перададзім дэкартавы здабытак А × В разглядаемага вышэй прыклада:







Калі дэкартавы здабытак змяшчае бясконцае мноства пар і перадаць усё гэтае мноства нельга, то перадаюць яго частку, прычым так, каб было зразумела, дзе знаходзіцца відарыс астатніх элементаў.

Прыклад. Перадаць графічна дэкартавы здабытак мностваў А і В, калі:

а) А = { x | x R, 1 ≤ x < }; б) А = {х |х R, 1 ≤ х ≤ 5};



В = {у | у N, 1 ≤ у ≤ 3}; В ={у | у R, 1≤ у ≤ 3}.














У

О

1

Х

3

Х

О

1

1

5

У

1

2

3












: umm
umm -> Літаратурная гульня па творчасці а. Куляшова
umm -> Пытанні да залiку па курсу “Гісторыя Беларусі” для дзённага i завочнага аддзяленняý
umm -> Задача педкаледжа у фарміраванні творчай індывідуальнасці будучых педагогаў, якія ўмеюць арыентавацца ў патоку навуковай інфармацыі, якія цікавяцца і аналізуюць эфектыўны педагагічны вопыт
umm -> А. куляшова” Праца над метафарычнасцю мовы малодшых школьнікаў на ўроках літаратурнага чытання
umm -> Пытанні да заліку па беларускай мове


  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка