I. Мноствы і аперацыі над імі. Паняцце мноства. Элемент мноства. Пустое мноства



старонка2/3
Дата канвертавання15.05.2016
Памер0.72 Mb.
ТыпГлава
1   2   3
Глава 2. Адпаведнасці і адносіны.

Паняцце адпаведнасці і адносіны.
Разгледзім прыклад: запісаць дэкартавы здабытак мностваў Х і У:

Х = {1, 2, 5}, У = {1, 3}.

Х × У = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (5, 1), (5, 3)}.

Возьмем падмноства дэкартава здабытка



G = {(2, 1), (5, 1), (5, 3)}.

Азн. Адпаведнасцю паміж мноствамі Х і У называецца тройка мностваў:

X, У,G Х × У.

Х – мноства адпраўлення, У – мноства прыбыцця, G – графік адпаведнасці.

Адпаведнасці паміж мноствамі можна перадаць пры дапамозе кругоў Эйлера і стрэлак. Такі відарыс называюць графам адпаведнасці.

У нашым прыкладзе атрымаем так:













Прынята адпаведнасці абазначаць літарамі P, Q, R, T і інш. Часта ў адпаведнасць укладаецца які-небудзь канкрэтны сэнс.

У разглядаемым прыкладзе сувязь можна выразіць словамі: “Лік х з мноства Х большы за лік у з мноства У”. Абазначыўшы гэтую адпаведнасць, напрыклад, літарай Q, можна паказаць, якія элементы знаходзяцца ў адпаведнасці Q, так



2Q1 , 5 Q1, 5 Q3. Гэты запіс чытаецца так: “Адзінка адпавядае двум пры адпаведнасці Q (двум адпавядае адзінка пры адпаведнасці Q)”.

Графік адпаведнасці можна ўявіць у выглядзе мноства пунктаў у прамавугольнай сістэме каардынат. Перададзім графік адпаведнасці з разглядаемага прыклада:






3

2

1

2 5


Элементам х з мноства адпраўлення можа адпавядаць бясконца многа элементаў у з мноства прыбыцця, канечны лік элементаў і ні аднаго.

Няцяжка таксама пераканацца ў тым, што элементы у з мноства прыбыцця могуць адпавядаць бясконцаму мноству элементаў з мноства адпраўлення, канечнаму ліку элементаў і ні аднаму.

Няхай дадзена адпаведнасць R паміж мноствамі Х і У. Мноства ўсіх элементаў х Х, такіх, што х R у , называецца мноствам (вобласцю) азначэння, а мноства ўсіх такіх элементаў у У – мноствам значэнняў адпаведнасці R.

У разглядаемым прыкладзе вобласць азначэння – {2, 5}, а мноства значэнняў супадае з мноствам прыбыцця У.



Заўвага. Калі мноствы Х і У супадаюць, Х = У, то гавораць не аб адпаведнасці, а аб адносіне паміж элементамі мноства Х.

У гэтым выпадку графік G будзе падмноствам мноства Х × Х : G Х × Х.



Прыклад: Няхай дадзена мноства Х = {1, 2, 3}.

Установім паміж элементамі гэтага мноства адносіну R: “Лік х меншы за лік у" (х < у). Тады G = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.


Граф будзе мець выгляд:
1


3 2

Спосабы задання адпаведнасці (адносін).
Можна вылучыць наступныя спосабы:

  1. Калі Х і У канечныя, то ўказваюць усе пары, якія належаць графіку адпаведнасці (адносіны). Гэта можна зрабіць пры дапамозе табліцы, графа ці запісаць усе пары ў выглядзе мноства.


  1. Указваюць характарыстычную ўласцівасць усіх пар (х, у), якія належаць графіку адпаведнасці (адносіны). Часта фармулёўку гэтых уласцівасцей запісваюць пры дапамозе матэматычных сімвалаў. Напрыклад, адносіна: “лік х большы за лік у” запішацца “х > у”, “Лік х большы за лік у на 1” -

х = у + 1”, "х дзеліцца без астатку на у" – “х у”, “прамая х паралельна

прамой у” – “х || у".

3.Будуюць графік адпаведнасці (адносіны) на каардынатнай плоскасці.

Прыклад. Элементы мноства К = {12, 17,19, 10, 21} і B = {2, 3, 4, 9}

знаходзяцца ў адпаведнасці R : “ х у ” (х кратны у); х K, у В.

1.Пабудуйце граф адпаведнасці R.

2.Пералічыце ўсе пары лікаў, якія знаходзяцца ў адпаведнасці R.

3.Укажыце сярод наступных запісаў правільныя: 12 R4, 3 R21, 17 R1, 20 R 2.

Рашэнне:

1.

















2.G = {(12, 2), (12, 3), (12, 4), (10, 2), (21, 3)}.

3. 12R 4.

Адваротная і супрацьлеглая дадзенай адпаведнасці.
Азн. Няхай R – некаторая адпаведнасць паміж элементамі мностваў Х і У. Адваротнай ёй будзем называць адпаведнасць R-1, графік якой будзе змяшчаць пары, якія атрымаюцца , калі ў парах графіка адпаведнасці R кампаненты памяняць месцамі.

Пры відарысе адваротнай адпаведнасці пры дапамозе графа дастаткова памяняць напрамак стрэлак на графе адпаведнасці R.



Прыклад.





G = {(а, 1), (в, 2), (с, 3), (а, 2)}. Графік адваротнай адпаведнасці змяшчае

пары: G´ = {(1, а), (2, в), (3, с), (2, а)}.



Азн. Адпаведнасць R1 паміж мноствамі Х і У называецца супрацьлеглай адпаведнасці R, калі графік G´´ адпаведнасці R1 роўны: G´´ = Х × У\ G, дзе G – графік адпаведнасці R.

Прыклад прывесці самастойна.


Разбіенне мноства на падмноствы, якія не перасякаюцца.

Гавораць, што мноства Х разбіта на падмноствы, якія не перасякаюцца (на класы), калі выконваюцца тры ўмовы:

1.Усе падмноствы не пустыя.

2.Аб’яднанне ўсіх падмностваў ёсць мноства Х.

3.Любыя два падмноствы не перасякаюцца.

Гэтае азначэнне ляжыць у аснове ўсемагчымых класіфікацый у біялогіі, хіміі, фізіцы і г.д.; толькі замест слова “падмноства” выкарыстоўваюцца словы “род”, клас”, “від”, група” і інш.



Прыклад. Разбіць мноства А = {0, 2, 10, 7, 20, 136} на падмноствы, якія не перасякаюцца, любым спосабам.

Няхай А1 ={0, 2, 7}, A2 = {10, 20}, A3 = {136}/.

Лёгка правяраецца выкананне ўсіх умоў разбіення.
Рэфлексіўныя, сіметрычныя і транзітыўныя адносіны (адпаведнасці).Адносіны эквівалентнасці.

Няхай на мностве Х устаноўлена адносіна R. Калі адносіна R такая, што:

1.Для усіх х Х выконваецца х R х ( х знаходзіцца ў адносіне R сам з сабой), то R называюць рэфлексіўнай адносінай.

2.Калі для любых элементаў х, у Х з таго, што х R у, вынікае, што у R х, то R называюць сіметрычнай адносінай.

3.Калі для любых элементаў х, у, z Х з таго, што х R у і у R z, вынікае, што х R z, то R называюць транзітыўнай адносінай.

Прыклад. На мностве Х навучэнцаў вучылішча разглядзім адносіну R: “быць аднакурснікам”.

1.Кожны навучэнец аднакурснік сам з сабой.

Значыць R - рэфлексіўная адносіна.

2.Калі х аднакурснік у, то у аднакурснік х. R - сіметрычна.

3.Калі х аднакурснік у, а у аднакурснік z, то х аднакурснік z.

Таму R валодае і транзітыўнасцю. Перададзім графы адносін, якія валодаюць гэтымі ўласцівасцямі.



1. х 2. х у 3. х у



z

Адносіну, якая валодае ўласцівасцямі рэфлексіўнасці, сіметрычнасці і транзітыўнасці, называюць адносінай эквівалентнасці.

Можа быць даказана:

Тэарэма. Для таго каб адносіна R дазваляла разбіць мноства Х на класы, неабходна і дастаткова, каб R была адносінай эквівалентнасці.

Элементы мноства Х, якія ляжаць у адным класе, будзем называць эквівалентнымі (х ~ у), а самі класы – класамі эквівалентнасці.



Прыклад. На мностве Х – прамых плоскасці – устанавілі

адносіну R: “х || у”. Гэтая адносіна валодае ўласцівасцямі:

1.Рэфлексіўнасці (таму што кожная прамая х || х).

2.Сіметрычнасці ( калі х || у, то у || х).

3.Транзітыўнасці ( калі х || у і у || z, то х || z).

Значыць R – адносіна эквівалентнасці. Усе прамыя плоскасці можна разбіць пры дапамозе адносіны R на класы, якія не перасякаюцца (класы эквівалентнасці). У кожны клас будуць уваходзіць прамыя, паралельныя між сабой. Таму, калі х || у, то можна запісаць х ~ у (х эквівалентна у).


Адносіна антысіметрычнасці. Адносіна парадку.
Азн. Няхай на мностве Х зададзена адносіна R. Гавораць, што яна антысіметрычна, калі для любых розных х, у Х адначасова не выконваецца х R у і у R х.

Прыклад 1. Разгледзім на мностве N адносіну R: “х < у”.

Так як не можа адначасова быць: х < у і у < х, то R антысіметрычная адносіна.


Прыклад 2. Разгледзім на мностве N адносіну R: “х у”. Яна валодае антысіметрычнасцю, бо для любых розных х і у адначасова не выконваецца: х у і у х.

Адносіна можа не валодаць ні ўласцівасцю сіметрычнасці, ні ўласцівасцю антысіметрычнасці.



Прыклад. На мностве дзяцей сям’і з вялікай колькасцю братоў і сясцёр, разгледзім адносіну R: “быць братам”. Лёгка праверыць, што яна не з’яўляецца ні сіметрычнай, ні антысіметрычнай.

Адносіна можа валодаць і сіметрычнасцю і антысіметрычнасцю.

Прыклад. Няхай на мностве Х ={1, 2, 3} зададзена адносіна R, якая мае графік: {(1,1), (2, 2), (3, 3)}. Лёгка праверыць, што яна задавальняе азначэнню як сіметрычнай, так і антысіметрычнай адносіны.

Азн. Адносіна, якая валодае ўласцівасцямі антысіметрычнасці і транзітыўнасці, называецца адносінай парадку.

Прыклад. Высветліць, ці з’яўляецца адносінай парадку на мностве людзей адносіна R: “быць братам”.

Адносіна R валодае ўласцівасцю транзітыўнасці, а ўласцівасцю антысіметрычнасці не валодае, так як ёсць пары братоў (х брат у і у брат х). Значыць адносінай парадку гэта адносіна не з’яўляецца.

Адзначым, што сіметрычнасцю гэта адносіна таксама не валодае.

Прыклад. Лёгка праверыць, што зададзеныя на мностве N адносіны

R: “х у“ і Q: “х < у” з’яўляюцца адносінамі парадку.

Мноства Х, на якім зададзена адносіна парадку, называецца ўпарадкаваным мноствам.




Функцыя. Лікавыя функцыі.

Азн. Адпаведнасць паміж мноствамі Х і У называецца функцыяй, калі кожнаму элементу мноства Х адпавядае адзін элемент мноства У.

Х – вобласць азначэння.

Функцыі прынята абазначаць літарамі f, , , , і інш.

Вобласць азначэння f абазначаюць D(f).

Элементы х Х называюць аргументамі, а элементы у, якія адпавядаюць элементам х, называюць – значэннямі функцыі і абазначаюць f(х): у = f(х). Мноства ўсіх лікаў f(х) (х D(f)) называюць вобласцю (мноствам) значэнняў функцыі f і абазначаюць E(f).

Калі пры заданні функцыі пры дапамозе формулы не ўказана вобласць азначэння, то ў яе якасці прымаюць мноства ўсіх значэнняў х, пры якіх гэта формула мае сэнс (можна падлічыць значэнне у).

Прыклад. у = , D(f) = ( - , 2) (2, + ).
Лік 2 мы выключылі, бо ён ператварае назоўнік у нуль.

Азн. Функцыя f з вобласцю азначэння Х і значэннямі ў мностве У называецца лікавай, калі Х і У – лікавыя мноствы.
Азн. Графікам функцыі у = f(х), зададзенай на мностве Х, называюць мноства пунктаў каардынатнай плоскасці, якія маюць каардынаты (х, f(х)) для ўсіх х Х.

Спосабы задання функцый.

Раз функцыя – гэта адпаведнасць (адносіна), то для яе маюць месца тыя ж спосабы задання.

1.Таблічны: Х = {3, 1, 8, 7, 10},


х

3

1

8

7

10




у

9

1

64

49

100




2.Аналітычны (пры гэтым сувязь паміж х і у наладжваецца пры дапамозе формулы):

а) у = х2, х R;

б) у = х, х Z.

3.Геаметрычны (відарыс (перадача) графіка функцыі ў прамавугольнай сістэме каардынат):

















4.Пры дапамозе графа:













5.Указаннем тройкі мностваў Х, У, G ( G – графік функцыі)



Х = {1, 6,4}, У = {2, 3, 7}, G = {(1, 2), (6, 3), (4, 7)}.

Адзначым, што пры аналітычным спосабе адна і тая формула можа задаваць розныя функцыі ў залежнасці ад вобласці азначэння.


Узаемна адназначная адпаведнасць.

Азн. Адпаведнасць паміж мноствамі Х і У называецца ўзаемна адназначнай, калі кожнаму элементу мноства Х адпавядае адзін элемент мноства У, а кожны элемент мноства У адпавядае аднаму элементу з мноства Х.

Прыклад.















f – задавальняе азначэнню і таму гэта ўзаемна адназначная адпаведнасць.

- функцыя, але ўзаемна адназначнай адпаведнасцю не з’яўляецца, так як элемент а адпавядае двум элементам, а в – ні воднаму.


Тэма: Роўнамагутныя мноствы. Бясконцыя мноствы.

Існуе два спосабы параўнання мностваў па ліку элементаў:



  1. Пералічыць элементы мностваў і параўнаць атрыманыя лікі.

  2. Устанавіць паміж мноствамі (ці паміж адным мноствам і часткай другога) ўзаемна адназначную адпаведнасць.

Азн. Два мноствы, паміж якімі можна ўстанавіць узаемна адназначную адпаведнасць, называюцца роўнамагутнымі.

Абазнач. А В – А роўнамагутна В.

Канечныя роўнамагутныя мноствы маюць аднолькавы лік элементаў.



Азн. Мноства Х называюць бясконцым, калі яно роўнамагутна нейкаму свайму ўласнаму падмноству.

Азн. Мноства, якое мае тую ж магутнасць, што і мноства N, называюць лічыльным.

Прыклад. Пакажам, што мноства ўсіх цотных натуральных лікаў лічыльнае, а мноства Nбясконцае.

У:

2

4

6

8

.

.

.

2n

.

.

.
































N:

1

2

3

4

.

.

.

n

.

.

.

Тут указана, як устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж У і N (іншымі словамі – занумараваць элементы мноства У). Так як У N і N У, то N –бясконцае, а У – лічыльнае.

З гэтага прыклада вынікае, што ўсякае лічыльнае мноства бясконцае і ўсе яго элементы можна занумараваць, г.з. паставіць ім у адпаведнасць адзін натуральны лік.

Узнікае пытанне, ці ёсць бясконцыя мноствы, якія не з’яўляюцца лічыльнымі?

Даказана, што мноства сапраўдных лікаў, якія адпавядаюць пунктам адрэзка [0, 1] лікавай прамой, не з’яўляецца лічыльным.












Прыклад. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж мноствамі пунктаў адрэзкаў [AB] і [CD] :











З гэтага прыкладу відаць, што мноствы пунктаў усіх адрэзкаў роўнамагутны, а таксама, што мноства пунктаў любога адрэзка не з’яўляюцца лічыльным.


Глава 3. Элементы матэматычнай логікі.
Выказванні. Простыя і састаўныя выказванні.

Азн. Выказваннем называюць апавядальны сказ, пра які можна гаварыць, праўдзівы ён ці непраўдзівы.

Прыклад. 5 · 2 = 5 – непраўдзівае выказванне(Н),

4 + 1 = 5 – праўдзівае выказванне (П).

Існуюць апавядальныя сказы, якія выказваннямі не з’яўляюцца.

Прыклад. 1.Любое азначэнне выказваннем не з’яўляецца.

2.х + 5 = 10, гэты сказ ператвараецца ў выказванне, калі замест х падставіць нейкі канкрэтны лік.

Заданні па ўстанаўленню праўдзівасці або непраўдзівасці сказаў (матэматычных і іншых) у розных відах часта сустракаюцца ў пачатковай школе (вусна прывядзіце прыклады).

Азн. Выказванні, якія нельга падзяліць на некалькі выказванняў, называюць – простымі (элементарнымі).

Азн. Высказванні, якія ўтвараюцца з простых з дапамогай злучнікаў “і”, “або”, “калі..., то”, “тады і толькі тады, калі”, “няпраўда, што”, - называюцца састаўнымі.

Прыклад.5 3” інакш запішацца “5 3 або 5 = 3”.

Нас будзе цікавіць праўдзівасць і непраўдзівасць выказванняў, а не іх сэнс.


Лагічныя аперацыі над выказваннямі.

Для таго, каб увесці аперацыі над выказваннямі неабходна:

1.Указаць, як чытаецца атрыманае выказванне.
2.Указаць, калі яно праўдзівае, а калі – не.
Адмоўе выказвання.

Выказванні абазначаюць вялікімі літарамі лацінскага алфавіта: А, В, С,Х.....

Хоць словы “няпраўда, што” злучнікам не з’яўляюцца, мы будзем лічыць, што з яго дапамогай таксама ўтвараюцца новыя выказванні.

Азн. Адмоўем выказвання А называецца выказванне “няпраўда, што А

(не А), якое праўдзівае, калі А непраўдзівае, і непраўдзівае, калі А- праўдзівае. Абазначэнне: А ( IА).



Табліца праўдзівасці, якая паказвае, як залежыць праўдзівасць састаўнога выказвання ад праўдзівасці ўтвараючых яго простых выказванняў, для адмоўя мае выгляд:


А

А


П

Н

Н

П

Саставім табліцу праўдзівасці для выказвання А:


А

А

А


П

Н

П

Н

П

Н


Параўнаўшы 1 і 3 слупкі, бачым, што значэнні праўдзівасці выказванняў А і А




супадаюць. У такіх выпадках будзем пісаць: А = А і называць выказванні роўнымі (або раўназначнымі).

Калі ў выказванні ёсць часціца “не”, то пры адмоўі яе можна адкінуць.

Кан’юнкцыя выказванняў.

Азн. Кан’юнкцыяй выказванняў А, В называецца выказванне “А і В”, праўдзівае, калі праўдзівыя абодва выказванні А і В, і непраўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазнач.: А В і В).

Згодна азначэння табліца праўдзівасці для кан’юнкцыі мае выгляд:



А

В

АВ

П

П

П

П

Н

Н

Н

П

Н

Н

Н

Н

Прыклад.: “3 5 6” – П, так як “3 5” – П і “5 6” – П.

6 5 7 – Н, так як “6 5” – Н.


Дыз’юнкцыя выказванняў.
Азн. Дыз’юнкцыяй выказванняў А і В называецца выказванне “А або В”, непраўдзівае, калі абодва выказванні А і В непраўдзівыя, і праўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазн. А В.

Табліца праўдзівасці:

А

В

АВ

П

П

П

П

Н

П

Н

П

П

Н

Н

Н

Прыклад:2 3” – П, так як “2 = 3” – Н, а “2 3” – П.

____ _ _ ____ _ _ _ _

Дакажам, што А В = А В, А В = А В. А А = Н, А А = П.

_____ __ __

Саставім табліцу праўдзівасці для выказванняў А В і А В:

А

В


_

А


_

В

АВ

АВ


_ _

А  В


П

П

Н

Н

П

Н

Н

П

Н

Н

П

Н

П

П

Н

П

П

Н

Н

П

П

Н

Н

П

П

Н

П

П

_____ _ _

Супадзенне двух апошніх слупкоў і даказвае роўнасць А В = А В.

_

Саставім табліцу праўдзівасці для выказвання А А:



А


_

А


_

А  А


П

Н

Н

Н

П

Н

_

З табліцы вынікае, што А А = Н.

Самастойнае заданне: _____ _ _ _

Даказаць роўнасці: А В = А В, А А = П,



А В = В А, А В = В А

В) С = А ( В С), В) С = А С).

Імплікацыя выказванняў.
Азн. Імплікацыяй выказванняў А і В называецца выказванне, “калі А, то В”, непраўдзівае, калі А – праўдзівае, а В – непраўдзівае, і праўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазн: А В. А – умова імплікацыі, В – выснова (заключэнне)

Табліца праўдзівасці:



А

В

АВ

П

П

П

П

Н

Н

Н

П

П

Н

Н

П


Азн. Няхай дадзена імплікацыя А В . Тады імплікацыя

1)В А называецца адваротнай дадзенай,

_ _

2)А В (калі не А, то не В) называецца процілеглай дадзенай.



Тэарэма. Для любых выказванняў А і В будзе правільнай роўнасць:

_ _


А В = В А

( дадзеная імплікацыя і процілеглая адваротнай ей роўныя).

Доказ тэарэмы вынікае з параўнання двух апошніх слупкоў табліцы:

А

В


_

А


_

В

АВ


_ _

ВА





П

П

Н

Н

П

П




П

Н

Н

П

Н

Н




Н

П

П

Н

П

П




Н

Н

П

П

П

П



_ _


Роўнасць А В = В А выкарыстоўваецца пры доказе тэарэм метадам ад процілеглага.
Эквіваленцыя выказванняў.

Азн. Эквіваленцыяй двух выказванняў А і В называецца выказванне “А тады і толькі тады, калі В”, праўдзівае калі А і В абодва праўдзівыя ці непраўдзівыя, і непраўдзівае, калі А і В маюць розныя значэнні праўдзівасці.

Абазн. А В. Табліца праўдзівасці:

А

В

АВ

П

П

П

П

Н

Н

Н

П

Н

Н

Н

П

Лёгка даказаць, што А В = (А В) А).

Прынята лічыць, што лагічныя аперацыі ў выразе без дужак выконваюцца ў наступным парадку: адмоўе, кан’юнкцыя, дыз’юнкцыя, імплікацыя, эквіваленцыя.
Прэдыкат.
Азн. Сказ з адной або некалькімі пераменнымі, які пры падстаноўцы замест пераменных пэўных значэнняў ператвараецца ў выказванне, называецца прэдыкатам.

Прыклад. х 5. Пры падстаноўцы замест х лікаў атрымаем праўдзівае або непраўдзівае выказванне.

З кожным прэдыкатам звязаны два мноствы:

1) мноства азначэння(вобласць азначэння),

2) мноства праўдзівасці прэдыката.



Азн. Мноства, пры падстаноўцы элементаў якога ў прэдыкат ён ператвараецца ў выказванне, называецца вобласцю азначэння прэдыката.

Вобласць азначэння можа быць зменшана ва ўмове канкрэтнага задання.



Азн. Мноства, элементы якога ператвараюць прэдыкат у праўдзівае выказванне, называюць мноствам праўдзівасці прэдыката.

Абазначаюць прэдыкаты так: А(х), х Х. Гэты запіс чытаюць: “На мностве Х зададзены прэдыкат А(х)(А ад х).

Калі замест х падставіць любое яго значэнне а Х, то атрымаецца выказванне А(а).

Калі А(а) – П, то гавораць, што элемент а валодае ўласцівасцю А,

а калі А(а) – Н, то – не валодае.

Над прэдыкатамі выконваюць тыя ж аперацыі, што і над выказваннямі.



Азн. Кан’юнкцыяй прэдыкатаў А(х) і В(х), зададзеных на мностве Х, называецца прэдыкат А(х) В(х), зададзены на тым жа мностве, які

ператвараецца ў праўдзівае выказванне для такіх х Х, для якіх кожны з прэдыкатаў А(х) іВ(х) ператвараецца ў праўдзівае выказванне.

Аналагічна вызначаюцца астатнія аперацыі .(Запісаць самастойна).
Лагічная выніковасць. Раўназначнасць матэматычных сказаў.

Неабходная і дастатковая ўмовы.

Калі імплікацыя А(х) В(х) праўдівая для ўсіх х Х (ТАв =Х), то гавораць, што прэдыкат В(х) лагічна вынікае з прэдыката А(х).

Калі В(х) лагічна вынікае з А(х), а А(х) лагічна вынікае з В(х) (гэта значыць, што заўсёды праўдзівыя імплікацыі А(х) В(х) і В(х) А(х)), то гавораць, што прэдыкаты А(х) і В(х) раўназначныя на мностве Х.

Няхай на мностве Х зададзена імплікацыя А(х) В(х), праўдзівая для ўсіх



х Х. Тады гавораць,што прэдыкат А(х) з’яўляецца дастатковай умовай для В(х), а В(х) – неабходнай для А(х).
У выпадку, калі імплікацыі А(х) В(х) і В(х) А(х) праўдзівыя для ўсіх

х Х, атрымоўваецца, што А(х) з’яўляецца дастатковай і неабходнай умовай для В(х), а В(х) – неабходнай і дастатковай умовай для А(х). У гэтым выпадку прэдыкаты раўназначныя.
Квантары агульнасці і існавання.
Азн. Выраз “Для ўсіх х (для любога х)” называюць квантарам агульнасці.

Абазначэнне: (х).

Выказванне (х Х)Р(х) чытаюць:

Для ўсіх х Х мае месца Р(х)”.



Азн. Выраз “Існуе х (для некаторага х; хаця б для аднаго х)” называюць квантарам існавання .

Абазн.: ( х).

Выказванне (х Х)Р(х) чытаюць: “Існуе х Х для якога мае месца Р(х)”.

Праўдзівасць выказвання ( х Х)Р(х) звычайна даказваецца, а непраўдзівасць правяраецца прывядзеннем прыклада такога х, для якога не мае месца Р(х).

Праўдзівасць выказвання (х Х)Р(х) правяраецца прывядзеннем прыклада такога х, для якога мае месца Р(х), а непраўдзівасць звычайна даказваецца.

Адмоўе выказванняў, змяшчаючых квантары, будуецца наступным чынам:

_____________ ____ ____________ ____



( х Х)Р(х) = ( х Х)Р(х), ( х Х)Р(х) = ( х Х)Р(х),
альбо паставіўшы перад гэтым выказванем словазлучэнне “няпраўда што”.
Структура тэарэмы.Віды тэарэм. Некаторыя спосабы доказу.
Пад тэарэмай разумеюць выказванне аб тым, што з уласцівасці А вынікае ўласцівасць В. Праўдзівасць устанаўліваецца шляхам правядзення доказу.

Такім чынам большасць тэарэм можна сфармуліраваць у выглядзе імплікацыі:

(1) ( х Х) А(х) В(х), дзе квантар х Х – тлумачальная частка – у ёй гаворыцца ,аб якім мностве аб’ектаў ідзе размова ў тэарэме; А(х) – умова,

В(х) –заключэнне тэарэмы.

Заўвага. Тлумачальная частка і словы “калі....., то... ” не заўсёды гучаць у фармуліроўцы тэарэмы, але яны падразумеваюцца і пры рабоце з тэарэмай яе можна сфармуліраваць у выглядзе (1).

Прыклад 1. Разгледзім тэарэму: Дыяганалі ромба ўзаемна перпендыкулярны. Яе можна запісаць у выглядзе (1), дзе Х – мноства чатырохвугольнікаў, А(х): “Чатырохвугольнік х- ромб, В(х): “У чатырохвугольніка х дыяганалі перпендыкулярны”.

Тады гэта тэарэма гучыць так: “Для ўсіх чатырохвугольнікаў мае месца, калі чатырохвугольнік ромб, то яго дыяганалі перпендыкулярны”.

Калі тэарэма праўдзівая для х Х, то яе можна сфармуляваць выкарыстоўваючы словы “неабходна” або “дастаткова”. Так тэарэму з прыклада 1 можна сфармуляваць так: “Для таго, каб дыяганалі чатырохвугольніка былі перпендыкулярны, дастаткова, каб ён быў ромбам”, або: “Для таго, каб чатырохвугольнік быў ромбам, неабходна, каб яго дыяганалі былі перпендыкулярны”.

Для тэарэм захоўваюцца тыя ж назвы, што і для імплікацый:

Няхай дадзена тэарэма(1):



( х Х) А(х) В(х) (1).

Тады тэарэма ( х Х) В(х) А(х) (2) – адваротная (1)

____ ___

( х Х) А(х) В(х) (3) – процілеглая (1)

____ ____

( х Х) В(х) А(х) (4) - адваротная процілеглай (1)

Тэарэмы (1) і (4), як намі было паказана раней, праўдзівыя адначасова, а (1) з тэарэмамі (2), або (3) – не абавязкова.



Прыклад:

Дадзена тэарэма: “ Калі вуглы вертыкальныя, то яны – роўныя” (1).

Т.2: “Калі вуглы роўныя, то яны вертыкальныя” – непраўдзівая : 1 2

Т.3: “Калі вуглы не вертыкальныя, то яны няроўныя” – непраўдзівая;

 1 =  2, але яны не вертыкальныя.

Т.4: “Калі вуглы не роўныя, то яны не вертыкальныя” – праўдзівая.

___ ____


Роўнасць: ( х Х) А(х) В(х) ( х Х) В(х) А(х) называюць законам кантрапазіцыі і выкарыстоўваюць пры доказе метадам ад процілеглага.
Глава 4. Ураўненні, няроўнасці.
Лікавыя выразы.
Азн. Лікі, і злучваючыя іх знакі арыфметычных дзеянняў, і дужкі ўтвараюць лікавыя выразы.

Выразы называюць у залежнасці ад таго, якое дзеянне выконваецца апошнім.

Выканаўшы дзеянні, указаныя ў выразе, мы атрымаем лік, які называюць значэннем выразу.

Выраз можа ўяўляць з сябе толькі адзін лік. Тады яго значэнне і роўна гэтаму ліку.



Азн. Калі значэнні двух лікавых выразаў супадаюць, то гавораць, што гэтыя лікавыя выразы роўныя.

Прыклад. Выразы 5 + 4 і 23 + 1 роўныя.

Выразы 14 : (8 – 8) і 15 – 19 не маюць лікавых значэнняў на мностве R. У гэтым выпадку гавораць, што яны не маюць сэнса.




Лікавыя роўнасці і іх уласцівасці.
Азн. Выказванне віду а = в, дзе а і в лікавыя выразы, называецца лікавай роўнасцю.

Роўнасці, як і ўсякія выказванні, бываюць праўдзівыя і непраўдзівыя.



Прыклад. 16 : 2 = 18 – 10 – П, 15 + 12 = 4 7 – Н.
Уласцівасці праўдзівых лікавых роўнасцей (п.л.р.).
1.Калі а = в – п.л.р., m – лікавы выраз, які мае сэнс (лікавае значэнне), то

а + m = в + m – таксама п.л.р. Гэта значыць, што калі да абедзвюх частак п.л.р. дадаць(адняць) адзін і той жа лікавы выраз, які мае значэнне, то атрымаем п.л.р.

На аснове гэтай уласцівасці лік можна перанесці з адной часткі п.л.р. у другую з процілеглым знакам (а + в = с, дададзім(-в), атрымаем а = с + (-в)).

2.Калі а = в – п.л.р. і m – любы лікавы выраз, які мае сэнс (значэнне), то

а m = в m – п.л.р.
Лікавыя няроўнасці і іх уласцівасці.

Азн. Выказванні віду а в або а в, дзе а і в лікавыя выразы, называюцца лікавымі няроўнасцямі.

Няроўнасці а в і с d называюцца няроўнасцямі аднолькавага сэнсу, а няроўнасці а в і с dпроцілеглага сэнсу.



Лічаць па азначэнню, што а в а - в 0, гэта значыць, што а – в дадатны лік, а в а – в 0, г.з. а – в адмоўны лік.
Асноўныя ўласцівасці праўдзівых лікавых няроўнасцей (п.л.н.).

1.Калі а в, то в а.



Доказ: Калі а в, то а – в 0, а тады процілеглы лік – (а – в) 0,

адкуль в – а 0, значыць в а.

2. а в, в с а с

азн. сума двух



Доказ: а в, в с а – в 0, в – с 0 (а – в) + (в –с) 0

азн. адм.ёсць адм.лік

а – с 0 а с.

3. а в а + с в + с. азн.



Доказ: (а + с) – (в + с) = а - в 0, так як а в, значыць (а + с) – (в + с) 0

  • а + с в + с.

Вынік. Любы лік можна перанесці з адной часткі няроўнасці ў другую, калі памяняць пры гэтым знак на процілеглы.

4. Калі а в і с 0, то ас вс,



а в і с 0, то ас вс.

Даказаць самастойна.

Аналагічныя ўласцівасці маюць месца для адносіны “ ”.


5. а в і с d а + с в + d,

6. а в і с d а – с в – d.

(Даказаць роўнасці 5 і 6 у якасці прыкладаў).

Так як лікавыя роўнасці і няроўнасці з’яўляюцца выказваннямі, то над імі можна выконваць лагічныя аперацыі: , , , - .



Прыклад: 1) а в ёсць а в а = в; 2) а в с ёсць а в в с;

_____


3) а в а в а = в; 4) а в а в а в.
Выраз з пераменнай. Вобласць азначэння выраза.

Тоеснасць.
Азн. Лікі і літары, злучаныя знакамі арыфметычных дзеянняў, і дужкі ўтвараюць выразы з пераменнымі.

Выраз з пераменнай не з’яўляецца ні выказваннем, ні прэдыкатам.

Калі пры падстаноўцы значэння х = а выраз з пераменнай f(x) ператвараецца ў лікавы выраз, які не мае лікавага значэння, то гавораць, што пры х = а выраз f(x) не мае сэнса.

Вобласць азначэння выраза з пераменнай вызначаецца аналагічна вобласці азначэння функцыі.



Азн. Мноства значэнняў пераменнай х Х, пры якіх выраз f(x) мае сэнс

(лікавае значэнне), называецца вобласцю азначэння выраза f(x).



Прыклад. Знайсці вобласць азначэння выразаў:

а) 7у – 14 , у2- 3у 0, у(у – 3) 0, у 0, у 3.



у2 – 3у

у ]- , 0[ ]0, 3[ ] 3, +[,

б) х – 3, х – 3 0, х 3. х [ 3, +[.



Азн. Два выразы f(x) и g(x) называюць тоесна роўнымі на лікавым мностве Х, калі:

  1. Вобласці азначэння іх супадаюць.

  2. Для любога ліка х0 з вобласці азначэння выразаў значэнні выразаў супадаюць, гэта значыць праўдзівая лікавая роўнасць: f(x0) = g(x0).

Прыклад. 3(х – 4) 3х – 12 на мностве R.

f(x)= g(х) = . На мностве R f(x) g(x),

так як f(0) існуе і роўна 5/2, а g(0) не існуе. А на мностве N f(x)  g(x).



Азн. Злучыўшы знакам роўнасці два тоесна роўных выраза атрымаем тоеснасць.

Замена аднаго выраза другім тоесна яму роўным называецца тоесным пераўтварэннем.


Да тоесных пераўтварэнняў можна аднесці:

1)Прывядзенне падобных членаў;


2)Раскладанне мнагачленаў на множнікі;

3)Скарачэнне дробаў;

4)Дзеянні над выразамі па вызначаных правілах

(а + в = в + а, (а + в)2 = а2 + 2ав + в2, а с аd - cв і г.д.)

в d вd
Ураўненне з адной пераменнай.

Раўназначныя ўраўненні. Тэарэмы аб раўназначнасці ўраўненняў.

Азн. Прэдыкат віду f(x) = g(x), дзе f(x), g(x) выразы з пераменнай, х Х, называюць ураўненнем з адной пераменнай.

Азн. Лік а Х называюць рашэннем (каранём) ураўнення, калі пры падстаноўцы яго замест х ва ўраўненне, яно ператвараецца ў праўдзівую лікавую роўнасць (праўдзівае выказванне).

Рашыць ураўненне – значыць знайсці мноства яго каранёў, іншымі словамі – мноства праўдзівасці прэдыката.

Азн. Мноства значэнняў пераменнай, пры якіх выразы f(x) і g(x) маюць значэнні (сэнс), называюць вобласцю азначэння ўраўнення f(x) = g(x).

Азн. Ураўненні называюць раўназначнымі на мностве Х, калі мноствы каранёў гэтых ўраўненняў, якія належаць мноству Х, супадаюць.

Прыклад: Ураўненні 3х – 4 = 2 і (х - 2)(х + 3) = 0 раўназначныя на мностве N, так як на гэтым мностве мноства рашэнняў супадаюць: Т1 = {2} і Т2{2}, але не раўназначныя на мностве Z , т.я. Т1 ={2}, а Т2 = {2, -3}, на гэтым мностве.

Тэарэма. Калі да кожнай часткі ўраўнення f(x) = g(x) (1), зададзенага на мностве Х, дадаць адзін і той жа выраз h(x), які мае значэнне на ўсім мностве Х, то атрымаем ураўненне f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (2), раўназначнае зыходнаму ўраўненню (1) на мностве Х.

Доказ: Няхай Т1 – мноства каранёў ураўнення (1), тады па азначэнню кораня маем, што для любога а Т1 f(а) = g(а) – п.л.р., а h(а) – лікавы выраз, які мае значэнне.

Згодна ўласцівасці 1 п.л.р., прыбавіўшы h(а) да абедзвюх частак п.л.р., атрымаем, што f(а) + h(а) = g(а) + h(а) – таксама п.л.р. А гэта азначае па азначэнню кораня ўраўнення, што а з’яўляецца коранем ураўнення (2), гэта значыць, што а Т2, дзе Т2 – мноства каранёў ураўнення (2). Такім чынам мы паказалі: любое рашэнне ўраўнення (1) з’яўляецца рашэннем ураўнення (2), г.зн. а Т1 а Т2.

Гэтак жа паказваецца, што а Т2 а Т1(да абедзвюх частак п.л.р.

f(а) + h(а) = g(а) + h(а) – дададзім адзін і той жа лікавы выраз (- h(а)).

Такім чынам, маем, што Т1 = Т2, а гэта значыць, што ўраўненні (1) і (2) раўназначныя.



Вынік. Члены ўраўнення можна пераносіць з адной яго часткі ў другую з процілеглым знакам.
Сапраўды, дададзім да дзвюх частак ураўнення f(х) + h(х) = g(х) выраз з пераменнай (- h(х)), атрымаем f(х) = g(х) - h(х) – ураўненне раўназначнае зыходнаму.
Тэарэма 2. Калі кожную частку ўраўнення f(х) = g(х) (1), х Х, памножыць на лік, або выраз h(х), які мае значэнне для ўсіх х Х і h(х) 0 пры ўсіх х Х, то атрымаем ураўненне f(х) h(х) = g(х) h(х) раўназначнае зыходнаму ўраўненню (1).

Доказ аналагічны доказу тэарэмы 1. ( Правесці самастойна).



Заўвага. Пры выкананні тоесных пераўтварэнняў нейкай часткі ўраўнення атрымаецца ўраўненне раўназначнае дадзенаму.
Няроўнасці з адной пераменнай. Раўназначныя няроўнасці.

Тэарэмы аб раўназначнасці няроўнасцей.
Азн. Прэдыкаты віду f(х) g(х) або f(х) g(х), зададзеныя на мностве Х, называюцца няроўнасцямі з адной пераменнай.

У далейшым будзем разглядаць няроўнасці выгляду f(х) g(х), х Х, і мець на ўвазе, што ўсё сказанае адносіцца таксама і да няроўнасцей f(х) g(х), х Х.



Азн. Лік а Х называюць рашэннем няроўнасці f(х) g(х), калі пры х = а дадзеная няроўнасць ператвараецца ў праўдзівую лікавую няроўнасць.

Рашыць няроўнасць f(х) g(х) – значыць знайсці мноства яе рашэнняў, іншымі словамі – мноства праўдзівасці гэтага прэдыката.



Азн. Дзве няроўнасці называюць раўназначнымі на мностве Х, калі мноствы іх рашэнняў, якія належаць мноству Х, супадаюць.

Прыклад. Няроўнасці х + 2 0 і х + 5 3 раўназначныя, таму, што іх мноствы рашэнняў супадаюць і ўяўляюць сабой інтэрвал ( - , -2).

Тэарэма 1. Калі да кожнай часткі няроўнасці (1) f(х) g(х), зададзенай на мностве Х, дадаць адзін і той жа лік або выраз h(х), які мае сэнс для ўсіх хХ, то атрымаем няроўнасць f(х) + h(х) g(х) + h(х) (2), раўназначную (1) на мностве Х.

Доказ. Няхай T1 – мноства рашэнняў няроўнасці (1), а T2 – мноства рашэнняў няроўнасці (2). Няхай х = а нейкае рашэнне (1). Значыць а T1. Па азначэнню рашэння, тады f(а) g(а) – праўдзівая лікавая няроўнасць і h(а) – лікавы выраз, які мае сэнс. Па ўласцівасці праўдзівых лікавых няроўнасцей атрымліваем, што

f(а) + h(а) g(а) + h(а) таксама праўдзівая лікавая няроўнасць. А гэта значыць, што а з’яўляецца рашэннем няроўнасці (2): а T2.

Такім чынам, маем а T1а T2.

Няхай цяпер х = в – якое-небудзь рашэнне няроўнасці (2). Гэта значыць

в T2. Тады f(в) + h(в) g(в) + h(в)п.л.н. Згодна ўласцівасці п.л.н. дададзім да кожнай часткі лікавы выраз (- h(в)) і атрымаем п.л.н. f(в) g(в), а гэта значыць, што в з’яўляецца рашэннем няроўнасці (1), значыць в T1.

Атрымалі, што в T2 в T1.


Па азначэнню роўных мностваў маем, што T2 = T1, значыць няроўнасці (1) і (2) раўназначныя. Тэарэма даказана.

Вынік. Члены няроўнасці можна пераносіць з адной часткі ў другую з процілеглым знакам.
Тэарэма 2. Калі абедзве часткі няроўнасці f(х) g(х), зададзенай на мностве Х, памножыць на адзін і той жа выраз h(х), зададзены на мностве Х і дадатны на ім, то атрымаем няроўнасць f(х)h(х) g(х)h(х), раўназначную зыходнай.

Тэарэма 3. Калі абедзве часткі няроўнасці f(х) g(х), зададзенай на мностве Х, памножыць на адзін і той жа выраз h(х), зададзены на мностве Х і адмоўны на ім, то атрымаем няроўнасць f(х)h(х) g(х)h(х), раўназначную зыходнай.

Доказы тэарэм 2 і 3 аналагічныя доказу тэарэмы 1.



Правесці іх у сшытку самастойна.

Заўвага. У тэарэмах 1, 2, 3 замест выразу h(х) можа брацца сапраўдны

: umm
umm -> Літаратурная гульня па творчасці а. Куляшова
umm -> Пытанні да залiку па курсу “Гісторыя Беларусі” для дзённага i завочнага аддзяленняý
umm -> Задача педкаледжа у фарміраванні творчай індывідуальнасці будучых педагогаў, якія ўмеюць арыентавацца ў патоку навуковай інфармацыі, якія цікавяцца і аналізуюць эфектыўны педагагічны вопыт
umm -> А. куляшова” Праца над метафарычнасцю мовы малодшых школьнікаў на ўроках літаратурнага чытання
umm -> Пытанні да заліку па беларускай мове


1   2   3


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка