Лініі ў ЕЎклідавай прасторы § Вектар-функцыя двух скалярных аргументаў Вектар-функцыя двух скалярных аогументаў



Дата канвертавання05.07.2016
Памер49.41 Kb.



Лініі ў еўклідавай прасторы






ГЛАВА 2. ЛІНІІ Ў ЕЎКЛІДАВАЙ ПРАСТОРЫ
§ 1. Вектар-функцыя двух скалярных аргументаў

1. Вектар-функцыя двух скалярных аогументаў. У гэтым параграфе разгледзім паняцце вектар-функцыі двух скалярных аргументаў.

Няхай – некаторы абсяг у , – трохмерная вектарная еўклідава прастора і кожнаму пункту пастаўлены ў адпаведнасць адзіны вектар з вектарная прасторы . У гэтым впадку кажуць, што на абсягу вызначана вектар-функцыя двух скалярных аргументаў.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыяй двух скалярных аргументаў называецца адлюстраванне : некаторага абсягу у вектарную еўклідаву прастору .

2. Каардынатныя функцыі. Няхай , , – артанармаваны базіс у вектарнай еўклідавай прасторы .Кожны вектар можам адзіным чынам раскласці па вектарах , , :

=.

Такім чынам, для вектар-функцыі вызначаюцца тры скалярныя функцыі двух скалярных аргументаў , , , .

Функцыі, , , , называюцца каардынатнымі функцыямі вектар-функцыі у базісе , , .

3. Ліміт вектар-функцыі. Для вектар-функцыі двух скалярных аргументаў вызначаецца паняцце ліміта. Дадзім яго азначэнне.

А з н а ч э н н е. Пастаянны вектар называецца лімітам вектар-функцыі у пункце, калі выконваецца ўмова



.

Калі вектар з’яўляецца лімітам вектар-функцыі , тады ўжываецца абазначэнне .

Вектар-функцыя двух скалярных аргументаў мае аналагічные ўласцівасці, што і вектар-функцыя адного скалярнага аргумента.

Ліміт вектар функцыі мае ўласцівасці, якія вызначае наступная тэарэмай.



Тэарэма 1 (прымета ліміта). Для таго каб пастаянны вектар з’ўляўся лімітам вектар- функцыі

неабходна і дастаткова каб выконваліся наступныя ўмовы , ,.

4. Непарыўнасць вектар-функцыі. Як і для скалярных функцый для вектар-функцый вызначаецца паняцце непарыўнасці.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыя , называецца непарыўнай у пукце , калі .

Вектар-функцыя называецца непарыўнай на праме-жку , калі яна непарыўная ў кожным пункце .

Тэарэма 2 (прымета непарыўнасці). Для таго каб вектар-функцыя,была непарыўнай на абсягу неабходна і дастаткова каб былі непарыўнымі на гэтым абсягу яее каардынатныя функцыі , , .
5. Частковыя вытворныя і дыферэнцыял вектар-функцыі

Няхай , вектар-функцыя двух скалярных аргументаў.

Няхай , тады – вектар-функцыя аднаго скалярнага аргумента . Вытворная (калі яна існуе) называецца частковай вытворнай вектар- функцыі па пераменнай у пункце .

Чачковая вытворная па пераменнай абазначаецца альбо .

Няхай , тады вектар-функцыя аднаго скалярнага аргумента .

Вытворная (калі яна існуе) называецца частковай вытворнай вектар-функцыі па пераменнай у пункце .

Можна даказаць наступную тэарэму.



Тэарэма 3. Для таго каб існавалі частковыя вытворныя і вектар-функцыі , неабходна і дастаткова каб існавалі частковыя вытворныя яе каардынатных функцый. Пры гэтым,

,

.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыя называецца дыферэнцавальнай у пункце , калі дыферэнцавальныя ў гэтым пункце яе каардынатныя функцыі , , .

А з н ч э н н е. Дыферэнцыялам вектар-функцыі называецца вектар

Паколькі ,

,

, то

значыць .
§ 2. Элементараная паверхня. Паняцце паверхні. Гладкая паверхня
1.Элементарная паверхня. Эементарным абсягамі на плоскасці называеца любое з наступных мностваў: адкрыты круг, замкунуты круг, замкнутая паўплоскасць.

Элементарным абсягам з’яўляецца:



  1. плоскасць;

  2. Мноства /

А з н а ч э н н е. Элементарнай паверхняй назывецца любое мноства гомеаморфнае элементарнаму абсягу.

Прыклад. Элементарнымі паверхнямі з’яляюцца наступныя мноствы:



  1. парабалічны цыліндр;

  2. мноства пунктаў сферы за выключэннем аднаго пункта;

  3. мноства .

Практыкаванне. Ці з’ўляецца элементарнай паверхняй эліптычны парабалоід?

Сфера не з’яўляецца элементарнай паверхняй паколькі не існуе гомеаморфнага адлюстравання сферы на элементарны абсяг.



2. Параметрычныя ўраўнені элементарнай паверхні.

яхай – элементарная паверхня ў . Гэта значыць дадзен некаторы гомеамарфмзм . Разгледзім прамавугольную сістэму каардынат . Кажнамупункту паставім у адпаведнасць вектар з пачаткам у пункце і канцавым пунктам .

Пры гэтым вызначаецца некаторая вектар-функцыя двух скалярных аогументаў

, .

Каардынатныя функцыі , ,



называются параметрычнымі ўраўненнямі дадзенай элементарнай паверхні .

2. Паверхня. Разгледзім паняцце паверхні.

А з н а ч э н н е. Паверхняй называецца любое мноства пунктаў з , якое можна ўявіць як аб’яднананне канеснага або злічонага мноства элементарных паверхняў.

Напрыклад, сфера не з’яўляеца элементарнай паверхняй але яна з’ўляецца паверхняй. Сферу можна ўявіць як аб’яднанне дзвюх элементарных паверхняў і , дзе і – дыяметральна процілеглыя пункты сферы.

Практыкаванне. Ці з’яўляецца элементарнай паверхняй одна-поласны гіпербалоід?

А з н а ч э н н е. Пункт паверхні называецца звычайным п калі існуе такое наваколле , што мноства – элементарная паверхня.

Паверхня называецца простай калі кожны яе пункт звычайны.

А з н а ч э н н е. Пункт паверхні называецца ўнутраным пунктам калі існуе такое наваколле , што мноства гомеаморфнае адкрытаму кругу.



3.Гладкая паверхня. Няхай элементарная паверхня , а яе вектар-функцыя. Элементарная паверхня называецца гладкай класа і рэгулярнай калі выконваюцца ўмовы:

1) каардынатныя функцыі маюць непарыўныя частковыя вытворныя да парадку уключна;

2) вектары і не калінеярныя.

Простая паверхня назывецца называецца гладкай класа , калі ў кожным пункце існуе наваколле такое, што мноства – гладкая класа элементарная паверхня.










: Matherials -> Mathem -> %D0%A8%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%20%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87 -> %D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> %D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(6%20%D1%81%D0%B5%D0%BC)
%D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(6%20%D1%81%D0%B5%D0%BC) -> Дыферэнцыяльная геаметрыя глава Лініі ў еўклідавай прасторы
%D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(6%20%D1%81%D0%B5%D0%BC) -> § Паняцце лініі. Гладкая лінія. Элементарная лінія. Лінія
%D0%93%D0%95%D0%9E%D0%9C.%20%D0%9B%D0%95%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98%20(6%20%D1%81%D0%B5%D0%BC) -> § Кананічны рэпер. Формулы Фрэнэ Кананічны рэпер
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Заданне 7 Датычная плоскасць і нармаль да паверхні. Першая квадратычная форма паверхні
%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F -> Заданне 10 Лініі і паверхні ў трохмернай прасторы




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка