Метады рашэння задач па планіметрыі



старонка1/4
Дата канвертавання21.06.2016
Памер0.49 Mb.
  1   2   3   4




ПРАДМОВА
Дапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 “Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню матэматычных задач”, якая зацверджана вучэбна-метадычным аб’яднаннем вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь.

У працы разглядаюцца тэарэтычныя асновы метадаў рашэння задач па планіметрыі, якія ілюструюцца на задачах рознага ўзроўня цяжкасці. Валоданне дадзенымі метадамі дапаможа фармаванню прафесійных уменняў будучага настаўніка матэматыкі.

Дапаможнік утрымлівае заданні для самастойнай кантрольнай працы па дзевяці асноўных тэмах планіметрыі, якія могуць быць выкарыстаны пры падрыхтоўцы студэнтаў завочнага аддзялення да курсавых і дзяржаўнага экзаменаў.

Пры выкананні кантрольнай працы спачатку патрэбна вывучыць тэарэтычны матэрыял, які выкладзены ў дапаможніку і ў дадатковай літаратуры.

Пасля гэтага разглядваюцца прыклады рашэння задач, і можна прыступаць да рашэння задач патрэбнага варыянта.

МЕТАДЫ РАШЭННЯ ЗАДАЧ ПА ПЛАНІМЕТРЫІ

Сярод метадаў рашэння геаметрычных задач па планіметрыі вылучаюць асноўныя тры метады: геаметрычны, алгебраічны і камбінаваны.

Пры рашэнні задач на доказ у асноўным выкарыстоўваецца геаметрычны метад. Патрабуемае сцвярджэнне выводзіцца з шэрагу вядомых тэарэм з дапамогай лагічных разважанняў. Для знаходжання ланцужка разважанняў выкарыстоўваецца аналітычны метад, які пачынаецца з таго, што трэба даказаць і заканчваецца тым, што дадзена. Затым з дапамогай сінтэза атрымліваецца доказ. У працэсе рашэння задач на доказ нярэдка патрабуецца даказваць роўнасць двух адрэзкаў. Гэта можна зрабіць некалькімі шляхамі.



  1. адрэзкі разглядаюцца як стораны двух трохвугольнікаў і даказваецца, што трохвугольнікі роўныя, а разглядаемыя стораны з’яўляюцца адпаведнымі;

  2. адрэзкі разглядваюцца як стораны аднаго трохвугольніка і даказваюецца, што ён з’яўляецца раўнабедраным трохвугольнікам, а разглядаемыя стораны з’яўляюцца бакавымі;

  3. адрэзкі замяняюцца роўнымі адрэзкамі і даказваецца роўнасць новых адрэзкаў;

  4. адрэзкі разглядваюцца як стораны чатырохвугльніка і даказваецца, што чатырохвугольнік з’яўляецца паралелаграмам і разглядаемыя стораны з’яўляюцца процілеглымі;

  5. знаходзяцца лікавыя значэнні даўжыняў адрэзкаў і паказваецца, што яны роўныя;

  6. даўжыні адрэзкаў выражаюцца праз новы адрэзак і паказваецца, што атрыманыя выразы тоесна роўныя;

  7. даказваецца, што адзін адрэзак пераходзіць у другі пры некаторым руху і г.д.

Нярэдка пры рашэнні геаметрычных задач прыходзіцца выконваць дадатковыя пабудовы: правядзенне прамой, паралельнай або перпендыкулярнай адной з дадзеных на малюнку; падваенне медыяны трохвугольніка з наступнай дабудовай да паралелаграма; правядзенне радыюсаў у пункты дотыку дзвюх акружнасцяў або акружнасці і прамой; правядзенне сярэдзінавага перпендыкуляра да адрэзка і г.д.

Адной з разнавіднасцяў геметрычнага метаду з’яўляецца метад геаметрычных пераўтварэнняў (цэнтральная і восевая сіметрыі, паралельны перанос, паварот, гаматэтыя, падобнасць).

Сутнасць алгебраічнага метаду заключаецца ў тым, што шуканая велічыня знаходзіцца з дапамогай раўнання або сістэмы раўнанняў, складзеных па ўмове задачы. Пры складванні раўнання выкарыстоўваюцца розныя геаметрычныя факты, формулы, тэарэмы. Напрыклад, прапарцыянальнасць адпаведных элементаў у падобных фігурах, тэарэмы сінусаў і косінусаў, элементы трыганаметрыі, уласцівасці бісектрысы трохвугольніка, уласцівасці медыяны прамавугольнага трохвугольніка, праведзенай да гіпатэнузы і г.д. Найбольш распаўсюджаным шляхам атрымання раўнання з’яўляецца выраз якой-небудзь велічыні двума незалежнымі спосабамі. Такая велічыня называецца апорным элементам, а алгебраічны метад называюць метадам апорнага элемента. У якасці апорнага элемента выкарыстоўваюць даўжыню адрэзка, плошчу фігуры, велічыню вугла. Пры складанні раўнання могуць выбірацца вектарны, каардынатны або вектарна-каардынатны шляхі. У якасці апорнага элемента выкарыстоўваюцца раскладанне вектара па базісных вектарах, даўжыня вектара, адлегласць паміж двума пунктамі, вугал паміж вектарамі, скалярны здабытак вектараў. У гэтых выпадках кажуць аб прымяненні каардынатнага, вектарнага або вектарна-каардынатнага метадаў (падрабязна пра іх сутнасць будзе напісана ніжэй).

Адзначым, што калі фігура, якая з’яўляецца аб’ектам задачы, зададзена з дакладнасцю да падобнасці, то для складання раўнання мэтазгодна ўвесці “дапаможны параметр”. У якасці дапаможнага параметра прымяняюць даўжыню якога-небудзь адрэзка, велічыню вугла. Пасля ўвядзення дапаможнага параметра знаходзяць выраз апорнага элемента двума незалежнымі спосабамі. Прыраўняўшы атрыманыя выразы, складваюць раўнанне. Аналагічна рашаюцца задачы на знаходжанне стасункаў некаторых велічыняў.

Пры рашэнні некаторых задач мэтазгодна для знаходжання шуканай велічыні знайсці спачатку нейкую дапаможную велічыню (дапаможную невядомую). У якасці дапаможнай невядомай можа быць выбрана даўжыня некаторага адрэзка, велічыня нейкага вугла і г.д. Дапамажная невядомая можа ўводзіцца пры складанні раўнання.

Раўнанне можа быць складзена не толькі шляхам ураўнівання двух незалежных выразаў апорнага элемента, але і з меркаванняў падобнасці або шляхам выкарыстання іншых залежнасцяў паміж элементамі геаметрычных фігур.

Да алгебраічнага метаду адносяць метад прамога ліку або паэтапна-вылічальны метад, які заключаецца ў паэтапным знаходжанні шэрагу прамежкавых велічыняў, з дапамогай якіх знаходзяць потым шуканыя велічыні. Натуральна, пры знаходжанні прамежкавых велічыняў могуць быць выкарыстаны розныя геаметрычныя факты, формулы, тэарэмы, а таксама звесткі з вектарнай алгебры, аналітычнай геаметрыі.

Нярэдка пры рашэнні геаметрычных задач прыходзіцца на розных этапах прымяняць розныя метады (спачатку прымяняецца метад прамога ліку, потым складваецца раўнанне, напрыканцы, геаметрычным метадам даказваецца сцвярджэнне). У такіх выпадках кажуць, што задача рашаецца камбінаваным метадам.


Метад геаметрычных пераўтварэнняў

Сутнасць метада геаметрычных пераўтварэнняў заключаецца ў пабудове мадэлі адной тэорыі (еўклідавай геаметрыі) у аб’ектах другой (групы геаметрычных пераўьварэнняў). Істотнай прыкметай матэматычнай мадэлі з’яўляецца наяўнасць ізамарфізма паміж мадэллю і мадэлюемай тэорыяй. Для ўстанаўлення гэтага ізамарфізма кожнаму пункту М ставіцца ў адпаведнасць цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у дадзеным пункце М. Кожнай прамой l – восевая сіметрыя з воссю l. Для паказу розных суадносінаў паміж пунктамі і прамымі выкарыстоўваюцца кампазіцыі цэнтральных і восевых сіметрый.



адпавядае .

Наяўнасць указанага ізамарфізма дазваляе прымяняць метад геаметрычных пераўтварэнняў пры рашэнні задач, сфармуляваных у тэрмінах еўклідавай геаметрыі. Метад геаметрычных пераўтварэнняў можа выкарыстоўвацца як сродак абгрунтавання некаторых адносінаў паміж элементамі еўклідавай геаметрыі. Прымяненне праводзіцца па наступнай схеме:



  1. выбіраецца геаметрычнае пераўтварэнне, якое валодае ўласцівасцю, неабходнай для абгрунтавання наяўнасці ўказаных адносінаў паміж аб’ектамі еўклідавай геаметрыі;

  2. выконваецца пераўтварэнне, пры якім адзін аб’ект пераходзіць у другі;

  3. абгрунтоўваецца наяўнасць указаных адносінаў паміж аб’ектамі з дапамогай уласцівасцяў выбранага геаметрычнага пераўтварэння.

Прымяненне дадзенай схемы абумоўлівае неабходнасць актуалізацыі асноўных паняццяў тэорыі геаметрычных пераўтварэнняў і ўласцівасцяў асобных відаў. Абавязкова павінна быць сфарміравана ўменне будаваць вобразы фігур пры пэўным пераўтварэнні.

Базавымі паняццямі з’яўляюцца наступныя: адлюстраванне, пераўтварэнне, рух, адваротнае пераўтварэнне, спосаб задання геаметрычнага пераўтварэння, канкрэтныя віды геаметрычных пераўтварэнняў.

Асноўнымі ўласцівасцямі геаметрычных пераўтварэнняў з’яўляюцца:


  • кампазіцыя рухаў ёсць рух;

  • пры руху прамыя пераходзяць у прамыя, прамені – у прамені, адрэзкі – у адрэзкі; захоўваюцца вуглы паміж праменямі;

  • пераўтварэнне падобнасці пераводзіць прамыя ў прамыя, прамені – у прамені, адрэзкі – у адрэзкі; захоўвае вуглы паміж праменямі;

  • пры руху пункты, якія ляжаць на прамой, пераходзяць у пункты, якія ляжаць на прамой, і захоўваецца парадак іх узаемнага размяшчэння.

Павінны быць вылучаны спецыфічныя ўласцівасці кожнага з канкрэтных відаў геаметрычных пераўтварэнняў (восевая і цэнтральная сіметрыі, паварот, паралельны перанос, пераўтварэнне падобнасці, гаматэтыя). Для кожнага віду актуалізуюцца спосабы задання і пабудовы вобразаў фігур.

Разгледзім прыклады прымянення метада геаметрычных пераўтварэнняў пры рашэнні геаметрычных задач.

Задача. Пункт В ляжыць паміж пунктамі А і С. Па адзін бок ад прамой АС пабудаваны роўнастароннія трохвугольнікі АМВ і ВКС. Даказаць, што трохвугольнік з вяршынямі ў сярэдзінах адрэзкаў АК і МС і пункце В роўнастаронні.

К

N

М



F

А С


В

Малюнак 1


Разгледзім паварот вакол цэнтра В на вугал -60(малюнак 1). Пункт А пераходзіць у пункт М, пункт К пераходзіць у пункт С, тады адрэзак АК пераходзіць у адрэзак МС. Так як паварот з’яўляецца рухам, то сярэдзіна адрэзка АК пераходзіць у сярэдзіну адрэзка МС. Значыць, пры дадзеным павароце пункт N пераходзіць у пункт F. Адсюль вынікае, што BN=BF і . Гэта значыць, што трохвугольнік BNF роўнастаронні.

Задача. На вышыні ВD трохвугольніка АВС маецца пункт К, такі, што АК=КС. Даказаць, што трохвугольнік АВС раўнабедраны.

Малюнак 2
Рашэнне. Трохвугольнік AKD роўны трохвугольніку CKD па катэту і гіпатэнузе (малюнак 2). Значыць пункты А і С сіметрычныя адносна прамой BD. Тады Адсюль вынікае, што АВ=СВ. Значыць трохвугольнік АВС раўнабедраны.
Каардынатны метад

Абсцыса (лац. “адсякаць”) – адрэзак, які адсякаецца на восі іксоў. Ардыната (лац. “упарадкаваны”) – першапачаткова была адна вось і ардынаты былі адрэзкі, паралельныя адзін аднаму, гэта значыць у кожнай абсцысе будаваўся свой перпендыкуляр, калі сістэма каардынат была прамавугольная.

Каардынаты (пункта) – лікі, якія ўзятыя ў пэўным парадку і характарызуюць становішча пункта на лініі, на плоскасці. Прамая, на якой указаны спосаб паказу сапраўдных лікаў, называецца каардынатнай.

Каардынатная плоскасць – плоскасць, на якой разглядаюцца дзве сям’і несамаперасякаючыхся ліній, такіх, што кожная лінія адной сям’і перасякаецца з кожнай лініяй другой сям’і толькі ў адным пункце. Пачатковыя лініі выбралі х=0 і y=0 (восі каардынат). Лініі x=const і y=const – каардынатныя лініі.

Каардынатны метад – спосаб вызначэння становішча пункта на прамой, на плоскасці з дапамогай лікаў (для дэкартавай сістэмы каардынат). Выкарыстўваючы каардынатны метад, алгебраічныя раўнанні можна вытлумачыць у выглядзе геаметрычных вобразаў (графікаў) і, наадварот, шукаць рашэнне геаметрычных задач з дапамогай аналітычных формул (раўнанняў і іх сістэм).

Для прымянення каардынатнага метада павінны быць сфармаваны наступныя базавыя веды і ўменні.



  1. Ведаць запіс пункта ў каардынатнай форме і па дадзенай каардынатнай форме будаваць яго на каардынатнай плоскасці (на прамой). А(х;у) і А(х) – каардынатныя формы задання пункта на плоскасці і на прамой.

  2. Ведаць заданне прамой у каардынатнай форме і па дадзенай каардынатнай форме будаваць прамую на каардынатнай плоскасці.

Прамая адназначна вызначаецца раўнаннем, калі: а) яму задавальняюць каардынаты (х;у) любога пункта гэтай прамой; б) любая пара лікаў (х;у), якая задавальняе раўнанню прамой, прадстаўляе сабою каардынаты адпаведнага пункта прамой. Любая прамая на кардынатнай плоскасці мае раўнанне выгляду ( або прынятае для школьнага курса алгебры ). Знайшоўшы каардынаты двух пунктаў, можна атрымаць геаметрычны вобраз прамой на каардынатнай плоскасці.

Аналагічна раўнанне акружнасці з цэнтрам і радыюсам r будзе мець выгляд (калі цэнтр акружнасці ў пачатку каардынат, то раўнанне акружнасці ); раўнанне парабалы (шляхам зрухаў восяў каардынат можна перайсці да раўнання выгляду ). У аналітычнай геаметрыі кананічны выгляд гіпербалы . Калі b=a, то гіпербала раўнабокая і яе раўнанне . Калі за восі каардынат прыняць асімптоты раўнабокай парабалы, то раўнанне будзе мець выгляд , або, прымаючы , атрымаем школьнае раўнанне гіпербалы .

Неабходна памятаць асноўнае патрабаванне да раўнання любой лініі. Раўнанне будзе раўнаннем лініі, калі яму задавальняюць каардынаты (х;у) любога пункта гэтай лініі, і наадварот, любая пара лікаў (х;у), якая задавальняе раўнанню лініі, прадстаўляе сабою каардынаты пункта лініі.

Веданне раўнанняў асноўных ліній зводзіцца да рашэння дзвюх вучэбных задач: а) па зададзеным уласцівасцям лініі скласці яе раўнанне; б) па зададзенаму раўнанню лініі высвятліць яе геаметрычныя ўласцівасці. У курсе алгебры гэта гучыць наступным чынам: па зададзенаму раўнанню лініі пабудаваць яе графік і з дапамогай графічнай мовы высвятліць уласцівасці функцыі, а затым высветленыя ўласцівасці перакласці на аналітычную мову.

Пры рашэнні задач выкарыстоўваюцца наступныя факты з аналітычнай геаметрыі: адлегласць паміж пунктамі; дзяленне адрэзка ў дадзеным стасунку; знаходжанне каардынат сярэдзіны адрэзка.

Сутнасць выкарыстання каардынатнага метаду зводзіцца да некалькіх найбольш істотных дзеянняў: напісанне (складанне) раўнання лініі (прамой, парабалы, гіпербалы, акружнасуці і г.д.); знаходжанне адлегласці паміж пунктамі (напісанне раўнання адрэзка), знаходжанне каардынат пунктаў на адрэзку (пункта, які дзеліць адрэзак у зададзеным стасунку; сярэдзіны адрэзка).

1 этап. Размясціць фігуры на каардынатнай плоскасці так, каб больш рацыянальна можна выразіць у каардынатнай форме адрэзкі фігуры і “убачыць” выкарыстанне каардынатнага метаду для знаходжання шуканага элемента.

2 этап. Запісаць у каардынатнай форме з улікам дадзеных разглядаемыя пункты.

3 этап. Перавесці на каардынатную мову ўмову задачы.

4 этап. Рашыць задачу ў каардынатнай форме.

5 этап. Запісаць, зыходзячы з плану рашэння задачы, раўнанне ліній, адлегласць паміж пунктамі, каардынаты сярэдзіны адрэзка і гэтак далей.

6 этап. Выканаць пераўтварэнне атрыманага ў каардынатнай форме выразу.

7 этап. Асэнсаваць атрыманыя вынікі на той мове, на якой была запісана задача.

Прымяненне каардынатнага метаду – гэта прыватны выпадак мадэлявання.

Веды і ўменні, неабходныя для сфармаванасці метада.: 1) разуменне асноўных задач метада (пабудова пункта па яго каардынатах і знаходжанне каардынат зададзенага пункта на прамені, прамой і плоскасці); 2) веданне раўнанняў, найбольш сустракаемых фігур ( прамой, парабалы, гіпербалы, акружнасці); 3) веданне формулы адлегласці паміж пунктамі і ўменне знайсці гэтую адлегласць (задача аб сярэдзіне адрэзка); 4) уменне выконваць пераклад з аналітычнай мовы на графічную і наадварот.

Уменні ўсвядомленага прымянення метада: а) уменне даваць абгрунтаванне прымянення графічнай або аналітычнай мовы ў залежнасці ад канкрэтнай сітуацыі задачы; б) уменне найбольш рацыянальна размясціць фігуру на каардынатнай плоскасці для прымянення каардынатнага метада пры рашэнні матэматычнай задачы.

Прымяненне каардынатнага метада зводзіцца да наступных дзеянняў: а) пераклад з аналітычнай мовы на графічную асноўных адносінаў задачы (або наадварот); б) пераўтварэнне або даследванне аб’екта на новай мове, больш зручнай і выніковай для вывучэння аб’екта; в) пераклад выніка пераўтварэння або даследавання на мову рашаемей задачы; г) асэнсаванне атрыманага выніка.

Разгледзім прыклады прымянення каардынатнага метаду для рашэння планімерычных задач.

Задача 1. Дадзена акружнасць з цэнтрам О і дыяметрам АВ=4. Пункт С – сярэдзіна радыюса ОВ. Пабудуйце на акружнасці пункты М і Р, сіметрычныя адносна прамой АВ, так, каб прамая СР была перпаендыкулярна прамой АМ.

Р
y


ашэнне. Дапусцім, што пункты М і Р пабудаваныя. Заўважаем, што дастаткова ведаць месцазнаходжанне пункта К, каб пабудаваць пункты М і К. Уводзім сістэму каардынат з пачаткам у цэнтры акружнасці і паспрабуем знайсці каардынаты пункта К (малюнак 3).

Знаходзім каардынаты пунктаў.


M


А(-2;0), О(0;0), С(1;0), В(2;0), М(х;у),

Р(х;-у), К(х;0). Заўважаем, што


B

O

C

x
патрэбна знайсці толькі х. З трох


A

K
умоў, якім павінны задавальняць

пункты М і Р, мы выкарысталі толькі

а
P
дну – сіметрычнасць адносна

прамой AB.

Малюнак 3

Паспрабуем перавесці на каардынатную мову астатнія дзве ўмовы. Так як пункт М ляжыць на акружнасці. то яго каардынаты задавальняюць раўнанню дадзенай акружнасці. Раўнанне мае наступны выгляд . Каб перавесці на каардынатную мову перпендыкулярнасць прамых АМ і СР, выкарыстаем скалярны здабытак вектараў. , . . На кардынатнай мове гэта азначае . Адсюль вынікае . Значыць, нам трэба рашыць наступную сістэму адносна пераменнай х.



Складваем пачленна два раўнанні і атрымаем . Рашаючы раўнанне, знаходзім карані Па сэнсу задачы нам падыходзіць другі корань. Значыць, пункт К(1,5;0). Заўважаем, што пункт К з’яўляецца сярэдзінай адрэзка СВ. Адсюль вынікае спосаб рашэння нашай задачы. Каб пабудаваць пункты М і Р, трэба знайсці перасячэнне сярэдзінавага перпендыкуляра да адрэзка СВ з акружнасцю.

Заўважаем, што дыяметр АВ перпендыкулярны хордзе МР. Гэта азначае, што пункты М і Р сіметрычныя адносна прамой АВ. Вугал АМВ прамы, таму што апіраецца на дыяметр. Лёгка даказваецца, што МВ||СР. Значыць, . Так як усе этапы пабудовы выконваюцца адназначна, то задача мае адно рашэнне.

Задача 2. Знайсці плошчу трохвугольніка АВС, калі яго вяршыні зададзены каардынатамі А(3;-1), В(1;-3), С(-6;6).




y

C


M



x

O


A

K


B

N

Малюнак 4


Рашэнне. Падвядзенне сістэмы каардынат ажыццяўляем другім спосабам. Калі пры рашэнні першай задачы сістэма каардынат накладвалася на малюнак, то зараз наадварот малюнак накладваецца на сістэму каардынат (малюнак 4). Задача можа рашацца рознымі спосабамі.

  1. Знаходзім даўжыні старон і прымяняем формулу Герона.

  2. Знаходзім даўжыню вышыні, апушчанай на сторану АВ і даўжыню АВ.

  3. Знаходзім даўжыні старон АС і ВС і велічыню вугла паміж імі.

Дабудуем трохвугольнік да прамавугольніка. Плошча нашага трохвугольніка знаходзіцца як рознасць плошчы прамавугольніка (у нашым выпадку квадрата) і плошчай трох прамавугольных трохвугольнікаў.

Адказ. 16 кв. адз.

Задача 3. Дадзены тры акружнасці радыюсамі 2, 8 і 10, якія датыкаюцца папарна знешнім чынам. Знайсці даўжыню хорды, якую адсякае агульная ўнутраная датычная першых дзвюх акружнасцей ад трэцяй акружнасці.

у
О


А

В

х


Малюнак 5
Рашэнне. Падводзім пад малюнак сістэму каардынат Оху (малюнак 5). Тады пункты будуць мець наступныя каардынаты (-2;0), (8;0), О(0;0), (х;у). Для знаходжання даўжыні адрэзка АВ неабходна ведаць каардынаты пунктаў А і В, якія з'яўляюцца пунктамі перасячэння большай акружнасці з воссю Оу. Складваем раўнанне большай акружнасці. Спачатку знойдзем каардынаты яе цэнтра. Так як акружнасці датыкаюцца знешне, то . Запішам наступныя раўнанні.

Адымаем ад другога раўнання першае і атрымаем.



Падставім атрыманае значэнне ў першае раўнанне і атрымаем.

Па сэнсу задачы нам падыходзіць першае значэнне. Тады цэнтр большай акружнасці мае каардынаты (-6;-). Атрымліваем раўнанне большай акружнасці Так як раўнанне восі Оу мае выгляд х=0, то падставіўшы гэтае значэнне ў раўнанне акружнасці, атрымаем.
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка