Пакажам, што функцыі для розных сапраўдных лікаў



Дата канвертавання22.07.2016
Памер226.46 Kb.




Прыклад 3. Пакажам, што функцыі для розных сапраўдных лікаў k1, k2, … , km ствараюць лінейна незалежную на R сістэму функцый.

Сапраўды,

W[] = =
=
Апошні дэтэрмінант называецца

Дэтэрмінант Вандэрмонда няроўны нулю, калі лікі k1, k2, … , km няроўныя паміж сабой.



Заўвага. Роўнасць W(x) = 0 на адрэзку не з'яўляецца дастатковай ўмовай для лінейнай залежнасці сістэмы функцый.

Разгледзім, напрыклад, сістэму функцый




у якіх носьбіты ненулявых значэнняў не перасякаюцца.


На адрэзку [0, 2] маем роўнасць , таму што на адрэзку [0, 1] другі слупок W(x) роўны нулю, а на адрэзку [1, 2] — першы слупок.

Але сістэма u1(x), u2(x) лінейна залежнай не з'яўляецца, паколькі нельга знайсці няроўных нулю лікаў 1, 2, каб на адрэзку [0, 2] выконвалася тоеснасць

Роўнасць нулю дэтэрмінанта Вронскага на адрэзку з'яўляецца дастатковай ўмовай для лінейнай залежнасці сістэмы n рашэнняў ЛАДР n–га парадку.

Тэарэма 3 (крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ЛАДР).

Для таго, каб сістэма n рашэнняў y1, y2, ... , yn ЛАДР n–га парадку



L(y) = 0 (1)

з непарыўнымі на [a, b] каэфіцыентамі была лінейна незалежнай на [a, b], неабходна і дастаткова, каб


Доказ. Дастатковасць забяспечваецца вынікам тэарэмы 2.

Неабходнасць дакажам метадам ад супраціўнага. Няхай існуе x0  [a, b], што W(x0) = 0.

Тады разглядаем сістэму раўнанняў



, (3)

Яе дэтэрмінант W(x0) = 0, таму існуе нетрывіяльнае рашэнне сістэмы (3) — лікі 1, 2, ... , m не ўсе роўныя нулю.

Разглядаем функцыю

(4)


Яна з'яўляецца рашэннем ЛАДР (1), як лінейная камбінацыя рашэнняў.

З (3) вынікае, што функцыя (4) задавальняе пачатковым умовам



y(x0) = 0, y(x0) =0, ... , y(n – 1)(x0) = 0. (5)

Але тым жа ўмовам задавальняе і трывіяльная рашэнне yт(x)  0 раўнання (1).

Па тэарэме аб існаванні і адзінасці рашэння задача Кашы ЛАДР (1), (5) мае адзінае рашэнне, таму рашэнні yт(x)  0 і (4) супадаюць. Гэта азначае, што

1y1(x) + 2y2(x) + … + nyn(x)  0 на [a, b],

і сістэма рашэнняў y1, y2, ... , yn ЛАДР з'яўляецца лінейна залежнай, гэта супярэчыць умове ленейнай незалежнасці сістэмы n рашэнняў ЛАДР.
3º. Структура агульнага рашэння ЛАДР n–га парадку

Тэарэма 4. Калі каэфіцыенты ЛАДР n–га парадку

L(y) = 0, (1)

непарыўныя на [a, b] функцыі, тады існуе лінейна незалежная на [a, b] сістэма n рашэнняў ЛАДР.



Доказ. Фіксуем x0  [a, b].

Спачатку да ЛАДР (1) дадаем пачатковыя ўмовы выгляду



y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = . (6)

Па тэарэме п. 1º § 15 існуе адзінае рашэнне y1(x) задачы Кашы (1), (6).

Потым задаем другія пачатковыя ўмовы

y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = . (7)

Абазначым праз y2(x) — адзінае рашэнне задачы Кашы (1), (7).

Адпаведна будуем іншыя рашэнні ЛАДР (1), якія задавальняюць адпаведным краявым умовам.

yn(x) — апошнее рашэнне задачы Кашы з краявымі ўмовамі

y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = .

Атрымалі n рашэнняў ЛАДР (1). Паколькі для гэтых рашэнняў



W(x0) = = 1  0,

пабудаваная сістэма рашэнняў лінейна незалежная па выніку з тэарэмы 2.



Тэарэма даказана.
Азначэнне. Усялякая лінейна незалежная сістэма n рашэнняў ЛАДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі называецца

ЛАДР (1).


Тэарэма 5. Агульнае рашэнне ЛАДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі мае выгляд

(8)
дзе y1, y2, ... , yn — фундаментальная сістэма рашэнняў ЛАДР (1);



C1, C2, … , Cn — адвольныя канстанты.
Доказ. Праверым азначэнне агульнага рашэння (п. 2º § 15).

Відавочна, што функцыя (8) мае непарыўныя частковыя вытворныя па x да парадку n уключна, і пры любых C1, C2, … , Cn функцыя (8) з'яўляецца рашэннем лінейнага раўнання (1).

Зараз пакажам, што выконваецца ўласцівасць 2) азначэння — для любога набора x0, y0, можна знайсці значэнні канстантаў C1, C2, … , Cn.

Дыферэнцыруем (8), падстаўляем адзаначаны набор і атрымліваем сістэму



.

Дэтэрмінант сістэмы W(x0)  0, таму існуе нетрывіяльнае рашэнне C1, C2, … , Cn.


Вынік. Максімальны лік лінейна незалежных рашэнняў ЛАДР
4º. Формула Астраградскага-Ліувіля

Тэарэма 6. Для ЛАДР (1) з непарыўнымі на [a, b] каэфіцыентамі мае месца формула

дзе W(x) — вранскіян фундаментальнай сістэмы рашэнняў ЛАДР (1);

p1(x) — каэфіцыент пры y(n – 1)(x) у ЛАДР (1).
Доказ. Няхай маем фундаментальную сістэму рашэнняў ЛАДР (1) y1, y2, ... , yn.

Запісываем ЛАДР (1) у выглядзе



p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y = – y(n). (9)

Падстаўляем кожную з функцый фундаментальнай сістэмы ў раўнанне (9) і атрымліваем алгебраічную сістэму



адносна каэфіцыентаў p1(x), p2(x), …, pn(x) з дэтэрмінантам W(x).

Па правілу Крамера

,

дзе .

Пры гэтым W1(x) = W(x), паколькі вытворная дэтэрмінанта W(x) n-га парадку ёсць сума n дэтэрмінантаў выгляду W(x), у кожным з якіх адзін слупок ёсць вытворная адпаведнага слупка W(x):

.

Ва ўсіх дэтэрмінантах-складніках, акрамя W1(x), атрымліваюцца аднолькавыя слупкі, таму гэтыя дэтэрмінанты знікаюць(роўныя нулю).

Маем дыферэнцыяльнае раўнанне

, ці W + p1(x)W = 0.

Рашэнне мае выгляд



.

Калі x = x0 атрымліваем W(x0) = C і формулу Астраградскага-Ліувіля.



Тэарэма даказана.
§ 19. Уласцівасці ЛНДР n–га парадку

1º. Структура агульнага рашэння ЛНДР

Тэарэма 1. Агульнае рашэнне ЛНДР

L(y) = f(x), (1)

з непарыўнымі каэфіцыентамі ёсць сума частковага рашэння ЛНДР (1) і агульнага рашэння адпаведнага ЛАДР.



Доказ. Няхай yч(x) — вядомае частковае рашэнне ЛНДР (1), а y(x) — адвольнае рашэнне ЛНДР.

Разгледзім функцыю


Карыстаемся лінейнасцю аператара L і маем

Адсюль вынікае, што z(x) з'яўляецца рашэннем ЛАДР і мае прадстаўленне (Т.5 § 19)



z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn,

адкуль


y(x) = yч(x) + C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn.

З другога боку, калі z(x) рашэнне ЛАДР, то падстаноўкай у левую частку (1) y(x) = yч(x) + z(x) пераканаемся, што гэта — рашэнне ЛНДР.



Тэарэма даказана.
Тэарэма 2. Няхай yч1 — частковае рашэнне ЛНДР

L(y) = f1(x),

а yч2— частковае рашэнне ЛНДР



L(y) = f2(x),

тады сума yч1+ yч2 ёсць рашэнне ЛНДР



Доказ.

L(yч1+ yч2) = L(yч1) + L(yч2) = f1(x) + f2(x).
2º. Метад варыяцыі адвольных канстантаў

Тэарэма 3. Няхай дадзена ЛНДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі.

Калі y1, y2, ... , yn — фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнага ЛАДР, тады частковае рашэнне ЛНДР можна шукаць у выглядзе

(2)

дзе C1(x), C2(x), ... , Cn(x) — новыя шукаемыя функцыі.


Доказ. Разглядаем ЛНДР

y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y = f(x). (3)

Трэба падставіць (2) у (3). Спачатку будзем паслядоўна знаходзіць вытворныя (2) і накладаць дадатковыя ўмовы на C1(x), C2(x), ... , Cn(x).

Першая вытворная (2):

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x) + C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x).

На C1(x), C2(x), ... , Cn(x) накладаем дадатковую ўмову — тое, што падкрэслена прыраўноўваем да нуля:

(1*)
Застаецца

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x). (4)

Дыферэнцыруем:



y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x) + C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x).

Ізноў накладаем умову

(2*)
Застаецца

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x). (5)

Так робім паслядоўна і спыняемся на роўнасці пасля дыферэнцавання y(n – 1)(x)



y(n)(x) = + C1(x)y(n)1(x) + ... + Cn(x)y(n)n(x). (6)

Мелі выраз (2) і атрымалі выразы (4), (5), (6), ... для функцыі y(x) і ўсіх вытворных да парадку n. Падстаўляем іх у раўнанне (3):



+ C1(x)y(n)1(x) + ... + Cn(x)y(n)n(x) +

+ p1(x) + ... +

+ pn-1(x)(C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x)) +

+ pn(x)(C1(x)y1(x) +... + Cn(x)yn(x)) = f(x). (7)

Cкладнікі з C1(x) збіраюцца, C1(x) выносіцца і ў дужках застаецца L(y1) = 0, паколькі y1(x) — рашэнне ЛАДР.

Аналагічна с іншымі складнікамі і ад раўнання (7) застаецца ўмова

(8)

і да яе дадаецца (n – 1) умова (1*), (2*), ...



Такім чынам, для знаходжання склалася сістэма

.

Дэтэрмінант сістэмы W(x)  0 і для знойдуцца выразы праз функцыі ад x. Потым C1(x), C2(x), ... , Cn(x) лёгка знайсці інтэграваннем.



Тэарэма даказана.
§ 20. Лінейнае аднароднае дыферэнцыяльнае раўнанне 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі
1º. Характарыстычнае раўнанне

Разгледзім ЛАДР n-га парадку з пастаяннымі сапраўднымі каэфіцыентамі



y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) +… + pn – 1y + pny = 0  xR. (1)

Для знаходжання агульнага рашэння ЛАДР (1) трэба знайсці сістэму n лінейна незалежных рашэнняў (1).

Звычайна рашэнні ЛАДР (1) шукаюцца ў форме

(2)


дзе — невядомая канстанта.

Калі падставіць (2) у (1), атрымаем

nex + p1n – 1 + p2n – 2 +… + pn – 1 + pn = 0, |  0
n + p1n – 1 + p2n – 2 +… + pn – 1 + pn = 0. (3)
Відавочна, што мае месца

Лема 1. Для таго, каб функцыя (2) была рашэннем ЛАДР (1) неабходна і дастаткова, каб было коранем раўнання (3)
Азначэнне. Раўнанне (3) называецца

(ХР) ЛАДР (1).


Мы будзем падрабязна разглядаць ЛАДР 2-га парадку з пастаяннымі сапраўднымі каэфіцыентамі

L(y)  y + py + qу = 0. (4)

Для ЛАДР (4) ХР будзе мець выгляд

(5)

Вынікі, атрыманыя для ЛАДР (4), можна перанесці на ЛАДР (1) n-га парадку.



Вядома, што раўнанне (5) мае два карані з улікам кратнасці.

Разгледзім магчымыя выпадкі:

1) карані сапраўдныя і розныя,

2) карані камплексныя,

3) корань сапраўдны, кратнасці 2.
2º. Выпадак розных сапраўдных каранёў

Няхай 1, 2R карані ХР (5) і 12.

Тады рашэнні ЛАДР (4) маюць выгляд

, . (6)

Яны лінейна незалежныя (§ 18, п. 2º, прыклад 3), таму яны складаюць лінейна незалежную сістэму функцый, г. зн. фундаментальную сістэму рашэнняў (4).

Тады агульнае рашэнне ЛАДР (4) мае выгляд

Заўвага. Аналагічны (6) выгляд маюць рашэнні ЛАДР (1) n-га парадку ў выпадку розных сапраўдных каранёў ХР.
3º. Выпадак камплексных каранёў

Няхай 1 = + i — камплексны корань ХР (5).

Паколькі каэфіцыенты ХР — сапраўдныя лікі, ХР павінна мець другі камплексны спалучаны корань 2 = i.

Такім чынам ЛАДР (4) павінна мець два камплексныя рашэнні

Каб упэўніцца ў гэтым будзем карыстацца дапаможнымі рэзультатамі.

Азначэнне. Фукцыя z(x) = u(x) + iv(x), дзе u(x) і v(x) — сапраўдныя функцыі ад сапраўднай зменнай x, называецца камплекснай функцыяй ад сапраўднай зменнай.

u(x) — называецца сапраўднай часткай z(x), v(x) — уяўнай часткай, .
Мае месца

Лема 2. Калі ў формуле

z(x) = u(x) + iv(x)

функцыі u(x) і v(x) сапраўдныя і n разоў дыферэнцавальныя, тады

(7)

Доказ зрабіць самастойна для вытворнай першага парадку (па азначэнні вытворнай).

Знойдзем сапраўдную і ўяўную часткі камплексных функцый y1, y2. Дзеля гэтага скарыстаемся формулай Эйлера, якая вызначае e у камплекснай ступені

(8)

Тады


= = (cosx + isinx) =
= cosx + isinx = u(x) + iv(x),
дзе u(x) = , v(x) = .

Аналагічна


Лема 3. Пры любым камплексным a мае месца формула

Доказ зрабіць самастойна, карыстаючыся формуламі (7), (8).

Зараз лёгка ўпэўніцца, што функцыі



, .

з'яўляюцца рашэннямі ЛАДР (4), прычым з'яўляюцца камплекснымі спалучанымі функцыямі.

Знойдзем зараз адпаведныя сапраўдныя рашэнні ЛАДР (4).

Мае месца



Тэарэма 1. Калі ЛАДР (4) з сапраўднымі каэфіцыентамі мае камплекснае рашэнне z(x) = u(x) + iv(x), тады сапраўдная і ўяўная часткі гэтага рашэння з'яўляюцца рашэннямі (4).

Доказ. Карыстаемся лінейнасцю. Няхай L(z) = 0. Тады

L(z) = L(u + iv) = L(u) + iL(v) = 0,

адкуль вынікае, што



L(u) = 0, L(v) = 0.

Тэарэма даказана.

Рашэнні y1, y2 маюць практычна аднолькавыя сапраўдную і ўяўную часткі, таму пары каплексных спалучаных рашэнняў (4)



,

адпавядае пара сапраўдных рашэнняў



u(x) = cosx, v(x) = sinx. (9)

Лема 4. Функцыі u(x) = cosx, v(x) = sinx складаюць лінейна незалежную сістэму.

Доказ. Трэба вызначыцца з падборам пастаянных 1, 2 у роўнасці

Паколькі  0, гэта роўнасць раўнасільна

1cosx + 2sinx = 0.

Такім чынам, лінейная незалежнасць сістэмы функцый cosx, sinx эквівалентна лінейнай незалежнасці сістэмы функцый cosx, sinx.

Будуем вранскіян

Лема даказана.
Агульнае рашэнне ЛАДР (4) у дадзеным выпадку мае выгляд

y(x) = (C1cosx + C2sinx).

Заўвагі.

1). Калі карані ХР (5) маюць выгляд 1,2 = i ( = 0), то агульнае рашэнне мае выгляд

2). Аналагічны (9) выгляд маюць рашэнні ЛАДР (1) n-га парадку ў выпадку камплексных каранёў кратнасці 1.
4º. Выпадак кратнага сапраўднага кораня

Тэарэма 2. Калі — корань ХР (5) кратнасці 2, тады функцыі

, (10)

з'яўляюцца фундаментальнай сістэмай рашэнняў ЛАДР (4).



Доказ. Функцыя рашэннем (4) з'яўляецца па Леме 1.

Пакажам (самастойна), што функцыя — таксама рашэнне (4).

Правяраем лінейную незалежнасць. Трэба вызначыцца з пастаяннымі 1, 2 у роўнасці

1 + 2 = 0.

Паколькі  0, гэта роўнасць раўнасільна роўнасці

11 + 2x = 0,

а лінейную незалежнасць сістэмы функцый 1, x мы даказалі (§ 18, п. 1º, прыклад 2).

Тэарэма даказана.

У разглядаемым выпадку агульнае рашэнне ЛАДР (4) мае выгляд



Заўвагі.

1). Калі ХР ЛАДР (1) n-га парадку мае сапраўдны корань кратнасці k ,гэтаму кораню адпавядаюць k рашэнняў ЛАДР выгляду



, , ... , .

2). Калі ХР ЛАДР (1) n-га парадку мае камплексны корань = + i кратнасці k, то гэтаму і спалучанаму кораням адпавядаюць 2k рашэнняў ЛАДР выгляду



cosx, cosx, ... , cosx,

sinx, sinx, ... , sinx.
§ 21. Лінейнае неаднароднае дыферэнцыяльнае раўнанне 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і спецыяльнай правай часткай

1º. Асноўныя паняцці

Разгледзім ЛНДР 2-га парадку с пастаяннымі каэфіцыентамі

(1)

дзе f(x) — непарыўная на некаторым прамежку функцыя.



Мы ўжо вызначыліся, што каб знайсці агульнае рашэнне ЛНДР (1), трэба знайсці агульнае рашэнне адпаведнага ЛАДР і частковае рашэнне yч ЛНДР (1).

Як знайсці агульнае рашэнне адпаведнага ЛАДР мы разбіралі ў папярэднім параграфе.

Частковае рашэнне ЛНДР (1) можна шукаць метадам варыяцыі адвольных канстантаў (§ 19, п. 2º). Але для правых частак спецыяльнага выгляду можна карыстацца іншым метадам — метадам невядомых каэфіцыентаў.

У прыватнасці, гэты метад магчымы для правых частак выгляду:


а) f(x) =
дзе Pm(x) — мнагасклад парадку m з сапраўднымі каэфіцыентамі, a — сапраўдны лік;

б) f(x) =
дзе Pm(x), Qn(x) — мнагасклады парадку m і n адпаведна з сапраўднымі каэфіцыентамі, a і b — сапраўдныя лікі.
2º. Выпадак f(x) = Pm(x)eax

Мнагасклад Pm(x) мае выгляд



Pm(x) = amxm + am–1xm–1 + … + a1x + a0. (m  0) (2)

Частковае рашэнне ЛНДР (1) будзем шукаць у выглядзе

(3)

дзе Sm(x) — мнагасклад ступені m з невядомымі каэфіцыентамі:



Sm(x) = qmxm + qm1xm–1 + … + q1x + q0. (4)

Каб падставіць (3) у (1), знойдзем вытворныя yч(x):



yч = Sm(x)eax

= eax + aSm(x)eax

= eax + 2aeax + a2Sm(x)eax

Падстаўляем

(eax + 2aeax + a2Sm(x)eax) +

+ p(eax + aSm(x)eax) + qSm(x)eax = Pm(x)eax.

Збіраем каэфіцыенты пры Sm(x) і яе вытворных

адкуль


(a2 + pa + q)Sm(x) + (2a + p) + = Pm(x). (5)
Засталося разгледзіць выпадкі.

1)
Тады a2 + pa + q  0 і з (5) бачна, што ўсе каэфіцыенты мнагасклада Sm(x) вызначаюцца адназначна. Г.зн. частковае рашэнне ЛНДР (1) можна знайсці ў выглядзе



y1(x) = Sm(x)eax (3)

2)
Тады a2 + pa + q = 0, але 2a + p  0.

Злева ў (5) знікае каэфіцыент q0 мнагасклада Sm(x) і справа ў (5) застаецца член amxm вышэйшай ступені.

Каб атрымаць роўнасці для ўсіх каэфіцыентаў Pm(x) трэба, каб замест мнагасклада Sm(x) быў мнагасклад ступені m + 1 без свабоднага члена. Г.зн. можна замест Sm(x) скарыстаць мнагасклад выгляду xSm(x).

Такім чынам, частковае рашэнне ЛНДР (1) можна знайсці ў выглядзе

(6)


3)

Тады a2 + pa + q = 0 і 2a + p = 0.

Ад роўнасці (5) застаецца

= Pm(x).

Зразумела, што злева знікаюць каэфіцыенты q0 і q1 мнагасклада Sm(x), а справа застаюцца члены amxm і am1xm–1 вышэйшых ступеняў мнагасклада Pm(x).

Можна карыстацца наступным выглядам частковага рашэння
(7)

Фактычна даказана



Тэарэма 1. Калі правая частка ЛНДР

y + py + qy = f(x), (1)

мае выгляд



f(x) = Pm(x)eax,

дзе Pm(x) — мнагасклад ступені m, частковая рашэнне раўнання можна шукаць у выглядзе

дзе k — кратнасць ліку a як кораня ХР (k = 0, калі a не з'яўляецца коранем ХР),

Sm(x) — мнагасклад ступені з невядомымі каэфіцыентамі.


Заўвагі.

1). Калі a = 0 правая частка (1) мае выгляд f(x) = Pm(x), тады маем выпадкі:



y1(x) = Sm(x), калі 0 не з'яўляецца коранем ХР;

y1(x) = xSm(x), калі 0 з'яўляецца коранем ХР кратнасці 1;

y1(x) = x2Sm(x), калі 0 з'яўляецца коранем ХР кратнасці 2.

2) Для ЛНДР n-га парадку з правай часткай f(x) = Pm(x)eax тэарэма 1 таксама выконваецца, і частковае рашэнне можна шукаць у выглядзе

дзе k — кратнасць ліку a як кораня ХР (k = 0, калі a не з'яўляецца коранем ХР).
3º. Выпадак f(x) = eax(Pm(x)cosbx + Qn(x)sinbx)

Pm(x) і Qn(x) — мнагасклады ступянёў m і n адпаведна.

Абазначым праз s  max{m, n}.

Мае месца

Тэарэма 2. Калі правая частка ЛНДР

y + py + qy = f(x), (1)

мае выгляд



f(x) = eax(Pm(x)cosbx + Qn(x)sinbx),

дзе Pm(x) і Qn(x) — мнагасклады ступянёў m і n адпаведна, частковая рашэнне раўнання можна шукаць у выглядзе

дзе k — кратнасць камплекснага ліку як кораня ХР (k = 0, калі лік a + ib

не з'яўляецца коранем ХР),



P̃s(x) і Q̃s(x) — мнагасклады ступені s з невядомымі каэфіцыентамі.

Ідэя доказу. З дапамогай формулаў

, ,

якія атрымліваюцца з формулы Эйлера



eix = cos x + isin x,

правую частку ЛНДР (1)



f(x) = eax(Pm(x)cosbx + Qn(x)sinbx)

пераўтвараем да выгляду



f(x) = eax(Pm(x) + Qn(x)) =

дзе P*s(x) і Q*s(x) — мнагасклады ступені з камплекснымі каэфіцыентамі.

Далей па схэме п. 3º (з улікам прынцыпу накладання — § 19, п. 1º) можна шукаць рашэнне ЛНДР (1) з правай часткай f1(x) + f2(x), дзе

f1(x) = P*s(x)e(a + ib)x,

f2(x) = Q*s(x)e(aib)x

у выглядзе



y1(x) = xk*s(x)e(a + ib)x + xk*s(x)e(aib)x,

дзе P̃*s(x) і Q̃*s(x) — мнагасклады ступені s з каэфіцыентамі, якія могуць быць камплекснымі лікамі.

А потым, ізноў скарыстаўшы формулу Эйлера, можна змяніць выгляд рашэння да

дзе P̃s(x) і Q̃s(x) — мнагасклады з невядомымі каэфіцыентамі, якія могуць быць камплекснымі лікамі.

Засталося толькі паказаць, што каэфіцыенты мнагаскладаў усё роўна будуць сапраўднымі.

Заўвага. Аналагічная тэарэма мае месца для ЛНДР n-га парадку з сапраўднымі каэфіцыентамі.


Агульны вынік можна запісаць наступным чынам:


п/п

Правая частка раўнання

Карані характарыстычнага раўнання

Выгляд частковага рашэння

І

Pm(x)

1. Лік 0 не з’яўляецца каранём характарыстычнага раўнання



2. Лік 0 – корань характа-рыстычнага раўнання кратнасці s



II

Pm(x)eax

 – сапраўдны лік



1. Лік a не з’яўляецца каранём характарыстычнага раўнання



2. Лік a – корань характа-рыстычнага раўнання кратнасці s



III

Pn(x)cosx+

+Qm(x)sinx

1. Лікі ±і не з’яўляюцца каранямі характарыстычнага раўнання

, k=max{m,n}

2. Лікі ±і з’яўляюцца каранямі характарыстычнага раўнання кратнасці s

k=max{m, n}

IV

eax(Pn(x)cosx++Qm(x)sinx)

1. Лікі а±і не з’яўляюцца каранямі характарыстычнага раўнання

,

k=max{m, n}

2. Лікі а±і з’яўляюцца каранямі характарыстычнага раўнання кратнасці s



k=max{m, n}

дзе Pn(x), Qm(x) – вядомыя мнагасклады ступені n i m, адпаведна – мнагасклады ад х ступені k агульнага выгляду з нявызначанымі каэфіцыентамі,  k=max{m, n}.
: Matherials -> Mathem -> %D0%93%D1%83%D0%BB%D0%BE%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> 2.%20%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 -> 3%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81 -> 6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> Канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта § Уводзіны 1º. Месца дысцыпліны ў матэматыцы
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> Задача аб вольных і вымушаных ваганнях Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны
%D0%93%D1%83%D0%BB%D0%BE%20%D0%98%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> Iндывiдуальныя заданнi па тэме «Функцыi некалькiх зменных» для самастойнай работы студэнтау
6%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80 -> § 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку 1º. Асноўныя азначэнні
%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> Задача Кашы. Задачы, якія прыводзяць да паняцця дыферэнцыяльнага раўнання
%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F -> 2. Праверыць, ці з’яўляецца функцыя рашэннем (калі да, то якім) адпаведнага дыфферэнцыяльнага ўраўнення 3




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка