Практыкум па тэорыii функцый рэчаiснай зменнай § Мноствы І аперацыі над імі



Дата канвертавання21.06.2016
Памер0.74 Mb.
ПРАКТЫКУМ ПА ТЭОРЫII ФУНКЦЫЙ РЭЧАIСНАЙ ЗМЕННАЙ

§ 1. Мноствы і аперацыі над імі

Паняцце мноства – асноўнае першаснае паняцце матэматыкі.

Выкарыстоўваюцца наступныя азначэнні і абазначэнні:

– элемент належыць мноству , – элемент не належыць мноству .

Калі кожны элемент мноства належыць мноству , то называюць падмноствам мноства і пішуць або .

Калі і , то мноствы і называюць роўнымі і пішуць .

Мноства, якое не змяшчае ніводнага элемента, называюць пустым і


абазначаюць .

Аб’яднаннем мностваў і называецца мноства ўсіх элементаў, якія належаць прынамсі аднаму з мностваў і . Гэтае мноства абазначаюць .

Аб’яднаннем адвольнай канечнай або бясконцай сукупнасці мностваў называецца мноства ўсіх элементаў, якія належаць прынамсі аднаму з гэтых мностваў. Аб’яднанне мностваў абазначаюць , аб’яднанне бясконцай паслядоўнасці мностваў . Аб’яднанне сукупнасці мностваў , дзе індэкс прабягае некаторае непустое мноства індэксаў , абазначаюць або проста .

Перасячэннем мностваў і называецца мноства ўсіх элементаў, якія належаць абодвум гэтым мноствам. Абазначаюць перасячэнне .

Перасячэннем адвольнай сукупнасці мностваў называецца мноства ўсіх элементаў, якія належаць усім гэтым мноствам. Перасячэнне мностваў абазначаюць , перасячэнне бясконцай паслядоўнасці мностваў . Перасячэнне сукупнасці мностваў , дзе індэкс прабягае некаторае мноства , абазначаюць або .

Непасрэдна з азначэнняў аперацый і вынікае іх камутатыўнасць і асацыятыўнасць:



Рознасцю мностваў і называецца мноства ўсіх тых элементаў мноства , якія не належаць мноству . Гэта мноства абазначаюць .

Калі , то мноства называюць дадаткам мноства да мноства і абазначаюць ці, карацей, .

Заданні для аўдыторнай работы


    1. Дадзена мноства . Пабудаваць усе падмноствы дадзенага мноства.

    2. Няхай – мноства рэчаісных лікаў. Пабудаваць некалькі бясконцых падмностваў дадзенага мноства. Пабудаваць некалькі канечных падмностваў дадзенага мноства.

    3. Ці будуць роўнымі мноствы і , дзе – мноства натуральных лікаў, – мноства неадмоўных цэлых лікаў?

    4. Ці будуць роўнымі мноствы і , дзе – мноства ўсіх дадатных цотных лікаў, – мноства дадатных лікаў, якія запісаны ў выглядзе сумы двух дадатных няцотных лікаў?

    5. Няхай мноства , мноства . Знайсці мноствы , , , .

    6. Знайсці , , , пры:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

    1. Знайсці , калі .

    2. Знайсці мноствы , калі .

    3. Дадзены мноствы . Знайсці .

    4. Знайсці аб’яднанне і перасячэнне мностваў .

    5. Няхай – мноства рашэнняў раўнання , – мноства рашэнняў раўнання . Запісаць праз і мноства рашэнняў:

1) раўнанняў а) ; б) ;

2) сістэмы раўнанняў:

    1. Знайсці аб’яднанне і перасячэнне мностваў і , калі

а) ;

б) – мноства трохвугольнікаў з вуглом у , – мноства роўнабаковых трохвугольнікаў, – мноства прамавугольных роўнабаковых трохвугольнікаў;

в) .


    1. Дадзены мноствы . З дапамогай аперацый аб’яднання і перасячэння запісаць мноства элементаў, якія належаць: 1) усім тром мноствам; 2) прынамсі аднаму з мностваў; 3) прынамсі двум з названых мностваў.

    2. Няхай мноства утрымлівае 100 элементаў, мноства – 90 элементаў, – 50 элементаў. Колькі элементаў утрымлівае мноства ?

    3. Даказаць, што роўнасці , маюць месца тады і толькі тады, калі .

    4. Даказаць дыстрыбутыўнасць аперацый і :

1) ; 2) .

    1. Даказаць законы дваістасці: 1) ; 2) .

    2. Няхай і – канечныя мноствы, а , – адпаведныя колькасці іх элементаў. Даказаць, што .

    3. Тэсты па матэматыцы пісалі 250 вучняў. Адзнаку ніжэй 10 атрымалі 230 вучняў, а станоўча напісалі тэсты 210 вучняў. Колькі вучняў атрымалі станоўчыя адзнакі ад 3 да 9 уключна?

    4. У групе са 100 навучэнцаў 70 чалавек ведаюць англійскую мову, 45 ведаюць французскую мову і 23 чалавекі ведаюць абедзве мовы. Колькі навучэнцаў у групе не ведаюць ні англійскай, ні французскай мовы?

    5. Няхай , і кожны элемент мноства ёсць лік, кратны або 2, або 3, або 5. Знайсці колькасць элементаў мноства , калі вядома, што сярод іх маецца 70 лікаў, кратных 2; 60 лікаў, кратных 3; 80 лікаў, кратных 5; 32 лікі, кратныя 6; 35 лікаў, кратных 10; 38 лікаў, кратных 15; 20 лікаў, кратных 30.



Заданні для пазааўдыторнай работы

    1. Няхай – мноства прамавугольнікаў, – мноства ромбаў. Знайсці .

    2. Знайсці перасячэнне мноства цотных лікаў з мноствам няцотных лікаў.

    3. Дадзены мноствы:

Паказаць на лікавай прамой наступныя мноствы:



1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

    1. Знайсці аб’яднанне і перасячэнне мностваў .

    2. Знайсці аб’яднанне і перасячэнне мностваў .

    3. Даказаць, што , (закон дваістасці).

    4. У школе 1440 вучняў. З іх 1250 умеюць катацца на лыжах, 952 – на каньках. Ні на лыжах, ні на каньках не ўмеюць катацца 60 вучняў. Колькі вучняў умеюць катацца і на лыжах, і на каньках?

    5. На курсе вучацца 100 студэнтаў. З іх 24 не вывучаюць ніякай мовы, 26 – вывучаюць нямецкую мову, 48 – французскую, 8 – французскую і іспанскую, 8 – нямецкую і французскую, 18 – толькі нямецкую, 23 – нямецкую, але не іспанскую. Колькі студэнтаў вывучаюць іспанскую мову?



§ 2. Адпаведнасці паміж мноствамі

Няхай – якія-небудзь два мноствы. Дэкартавым (прамым) здабыткам мностваў і называецца мноства ўсіх упарадкаваных пар , дзе . Такім чынам, .

Любое падмноства дэкартавага здабытку называецца адпаведнасцю паміж мноствамі і : ; .

Няхай – адпаведнасць паміж мноствамі і . Калі , то гавораць, што пры адпаведнасці элементу адпавядае элементу . Пры гэтым называецца элементам, які адпавядае элементу . Элемент называецца таксама вобразам элемента , а элемент – правобразам элемента .

Мноства ўсіх першых кампанентаў упарадкаваных пар, якія належаць адпаведнасці , называецца абсягам вызначэння гэтай адпаведнасці і абазначаецца .

Мноства ўсіх другіх кампанентаў такіх пар называецца абсягам значэнняў адпаведнасці і абазначаецца .

Сімвалам абазначаюць адпаведнасць , адваротную
адпаведнасці .

Адпаведнасць паміж мноствамі і можна наглядна паказаць з дапамогай чарцяжа. Элементы мностваў і адлюстроўваюць пунктамі плоскасці. Для кожнай пары , якая належыць адпаведнасці , робяць наступныя пабудаванні: ад пункта, які адлюстроўвае элемент , праводзяць стрэлку да пункта, які адлюстроўвае адпаведны яму элемент. Адпаведны чарцёж называецца графам адпаведнасці .

Няхай – некаторыя мноствы рэчаісных лікаў, а – адпаведнасць паміж гэтымі мноствамі. Калі ў прамавугольнай дэкартавай сістэме каардынат пабудаваць усе пункты, каардынатамі якіх з’яўляюцца пары лікаў, якія належаць мноству , то атрыманае мноства пунктаў называецца графікам адпаведнасці .

Адпаведнасць паміж мноствамі і , пры якой кожнаму элементу адпавядае адзін і толькі адзін элемент , называецца функцыяй ці аператарам, або адлюстраваннем мноства у мноства .

Абсягам вызначэння такой адпаведнасці з’яўляецца мноства . Яно называецца абсягам вызначэння функцыі . Абсяг значэнняў такой адпаведнасці называецца абсягам значэнняў функцыі .

Адпаведнасць паміж мноствамі і называецца адлюстраваннем мноства на мноства , калі:



  1. кожнаму элементу адпавядае адзін і толькі адзін элемент ;

  2. кожны элемент адпавядае некатораму элементу .

Адпаведнасць паміж мноствамі і называецца ўзаемна адназначнай, калі:

  1. кожнаму элементу адпавядае адзін і толькі адзін элемент ;

  2. кожны элемент адпавядае аднаму і толькі аднаму элементу .

Узаемна адназначная адпаведнасць паміж і называеца таксама ўзаемна адназначным адлюстраваннем мноства на мноства .

Калі існуе ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж мноствамі і , то гавораць, што мноствы і эквівалентныя ці, што яны маюць аднолькавую магутнасць. Пры гэтым запісваюць .

Эквівалентныя мноствы валодаюць наступнымі ўласцівасцямі:

1) (рэфлексіўнасць);

2) калі , то (сіметрычнасць);

3) калі і , то (транзітыўнасць).

Пры ўстанаўленні ўзаемна адназначнай адпаведнасці паміж лікавымі мноствамі падчас мэтазгодна выкарыстоўваць метады даследавання непарыўных функцый. У агульных выпадках могуць быць карыснымі наступныя тэарэмы.



Тэарэма Кантара-Бернштэйна. Калі кожнае з двух дадзеных мностваў і эквівалентнае некаторай частцы другога, то гэтыя мноствы эквівалентныя.

Тэарэма Гільберта. Няхай бясконцыя мноствы і эквівалентныя, а мноства атрымана з далучэннем аднаэлементнага мноства . Тады .

Заданні для аўдыторнай работы

    1. Знайсці і пры:

1) ;

2) .

    1. Адлюстраваць на дэкартавай плоскасці наступныя мноствы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

    1. Прывесці прыклады адпаведнасцяў паміж мноствамі і . Вызначыць іх абсягі вызначэння і абсягі значэнняў. Пабудаваць адпаведныя графы. Адзначыць, якія з пабудаваных адпаведнасцяў з’яўляюцца функцыямі. Пабудаваць адпаведныя адваротныя адпаведнасці.

    2. Няхай – мноства студэнтаў з 25 чалавек, якія здавалі экзамен па матэматычнаму аналізу, – мноства адзнак. Адпаведнасць кожнай адзнацы ставіць у адпаведнасць студэнта, які гэтую адзнаку атрымаў, а – кожнаму студэнту атрыманую ім адзнаку. Ці з’яўляюцца адпаведнасці і функцыямі?

    3. Няхай – мноства функцый, непарыўных на адрэзку , – мноства рэчаісных лікаў. Адлюстраванне кожнай функцыі ставіць у адпаведнасць лік . Ці будзе адлюстраванне узаемна адназначным?

    4. – мноства ўсіх трохвугольнікаў, – мноства ўсіх акружнасцяў плоскасці. Кожнаму з трохвугольнікаў паставім у адпаведнасць упісаную ў яго акружнасць. Ці будзе пабудаваная адпаведнасць функцыяй? Ці будзе гэтая адпаведнасць узаемна адназначнай?

    5. З дапамогай лінейнай функцыі ўстанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж адрэзкамі і .

    6. Знайсці ўзаемна адназначнае адлюстраванне адрэзка на
      адрэзак .

    7. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж інтэрвалам і мноствам рэчаісных лікаў.

Указанне. Інтэрвал адлюстраваць у некаторы інтэрвал, каб можна было скарыстаць функцыю .

    1. Ці можна ўстанавіць з дапамогай непарыўнай функцыі ўзаемна адназначную адпаведнасць паміж адрэзкам і інтэрвалам ?

    2. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж мноствам пунктаў інтэрвала і мноствам пунктаў адрэзка .

Рашэнне. Вылучым на інтэрвале якую-небудзь паслядоўнасць папарна розных пунктаў, напрыклад: . Установім наступную адпаведнасць: пункту адрэзка ставім у адпаведнасць пункт інтэрвала; пункту – пункт ; пункту – пункт ; пункту – пункт ; …; пункту – пункт ;…. Усім астатнім пунктам ставім у адпаведнасць сам гэты пункт .Атрымаем ўзаемна адназначную адпаведнасць.

    1. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж мноствам пунктаў акружнасці адзінкавага радыуса і мноствам пунктаў адрэзка .

Указанне. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж паўінтэрвалам і адрэзкам , потым паміж адрэзкам і
адрэзкам .

    1. Няхай – адвольнае мноства з абсягу значэнняў функцыі . Ці можна сцвярджаць, што ?

    2. Дадзена, што любое адлюстраванне мноства на мноства з’яўляецца ўзаемна адназначным. Паказаць, што – канечнае мноства.

    3. Ці заўсёды праўдзівым з’яўляецца сцвярджэнне, што калі і , то . Прывесці прыклады.

    4. Даказаць, што дачыненне эквівалентнасці мностваў валодае ўласцівасцямі рэфлексіўнасці, сіметрычнасці і транзітыўнасці, гэта значыць, што ; калі , то ; калі і , то .

    5. Даказаць пры дапамозе тэарэмы Кантара-Бернштэйна эквівалентнасць замкнутага круга і адкрытага круга таго ж радыуса.

    6. Даказаць пры дапамозе тэарэмы Кантара-Бернштэйна эквівалентнасць плоскасці і замкнутага квадрата на плоскасці.

Заданні для пазааўдыторнай работы

    1. Няхай { Δ; m; Ο }, . Знайсці і . Пабудаваць тры такія адпаведнасці, каб адна з іх не была функцыяй, а дзве другія былі б функцыямі, прычым адна з іх была б узаемна адназначнай адпаведнасцю. Пабудаваць адпаведныя графы.

    2. Няхай – адвольнае мноства з вобласці вызначэння функцыі . Ці можна сцвярджаць, што . Калі не, то прывесці адпаведныя прыклады.

    3. Няхай – мноства акружнасцяў на каардынатнай плоскасці, – мноства цэнтраў гэтых акружнасцяў. Адпаведнасць кожнай акружнасці ставіць у адпаведнасць яе цэнтр. Ці будзе адпаведнасць функцыяй? Ці будзе яна ўзаемна адназначнай адпаведнасцю?

    4. – мноства ўсіх квадратаў на каардынатнай плоскасці, стораны якіх паралельныя каардынатным восям, – мноства ўсіх акружнасцяў на каардынатнай плоскасці. Адпаведнасць кожнаму квадрату ставіць у адпаведнасць апісаную вакол яго акружнасць. Ці будзе адпаведнасць функцыяй? Ці будзе ўзаемна адназначнай адпаведнасцю?

    5. Ці існуе непарыўная функцыя, якая ўзаемна адназначна адлюстроўвае адрэзак на ўсю лікавую прамую?

    6. Ці можна ўстанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж адрэзкам і мноствам з дапамогай непарыўнай функцыі?

    7. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж прамежкамі
      і .

    8. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж адрэзкам і мноствам рэчаісных лікаў.

    9. Устанавіць узаемна адназначную адпаведнасць паміж сферай з адным выкалатым пунктам і плоскасцю.

Указанне. Скарыстаць так званую «стэрэаграфічную праекцыю».
§ 3. Магутнасць мностваў

Калі дадзены некаторы клас эквівалентных паміж сабой мностваў, то пра любыя два мноствы і з гэтага класа гавораць, што яны маюць аднолькавую магутнасць, і пішуць: . Калі мноства канечнае і мае элементаў, то ; у прыватнасці, калі пустое мноства, то .

Мноства , эквівалентнае мноству натуральных лікаў , называецца злічоным. Іншымі словамі: мноства называецца злічоным, калі ўсе яго элементы можна пранумараваць пры дапамозе ўсіх натуральных лікаў. Пры гэтым пішуць:

.

Гавораць, што мноства мае магутнасць кантынуума, калі яно эквівалентнае мноству ўсіх пунктаў адрэзка , ці, іншымі словамі, калі яно эквівалентнае мноству ўсіх рэчаісных лікаў , якія задавальняюць умове . Пры гэтым пішуць:



.

Калі мноства эквівалентнае некатораму падмноству мноства , а самі мноствы і не з’яўляюцца эквівалентнымі, то гавораць, што мноства мае большую магутнасць, чым : .

Калі дадзена некаторае мноства , то мноства , элементамі якога з’яўляюцца ўсе падмноствы мноства , мае магутнасць, большую чым : .

Адзначым некаторыя ўласцівасці мностваў.



  1. Любое падмноства злічонага мноства ці канечнае, ці злічонае.

  2. Любое бясконцае мноства змяшчае злічонае падмноства.

  3. Аб’яднанне канечнай або злічонай сукупнасці злічоных мностваў (мностваў магутнасці кантынуума) ёсць злічонае мноства (мноства магутнасці кантынуума).

  4. Калі да бясконцага мноства дадаць або ад яго адняць канечнае або злічонае мноства , то магутнасць мноства не зменіцца:



Заданні для аўдыторнай работы

    1. Чаму роўная магутнасць мноства , дзе – мноства ірацыянальных лікаў, – мноства рацыянальных лікаў?

    2. Чаму роўная магутнасць мноства ? Чаму роўная магутнасць мноства ўсіх падмностваў мноства ?

    3. Даказаць, што мноства цэлых лікаў злічонае.

    4. Чаму роўная магутнасць мноства ?

    5. Даказаць, што мноства інтэрвалаў на лікавай прамой, якія папарна не перасякаюцца, канечнае або злічонае.

    6. Даказаць, што мноства пунктаў разрыву нарастальнай на адрэзку функцыі, канечнае або злічонае.

    7. Вызначыць магутнасць мноства , дзе – мноства рацыянальных лікаў, – мноства простых лікаў.

    8. Вызначыць магутнасць мноства , дзе – мноства алгебраічных лікаў, – мноства рацыянальных лікаў.

    9. Чаму роўная магутнасць мноства пунктаў каардынатнай плоскасці з рацыянальнымі каардынатамі?

    10. Чаму роўная магутнасць мноства ўсіх квадратаў на каардынатнай плоскасці, вяршыні якіх маюць рацыянальныя каардынаты?

    11. Знайсці магутнасць мноства ўсіх мнагаскладаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

    12. Вызначыць магутнасць мноства .

    13. Знайсці магутнасць мноства , дзе – мноства
      рацыянальных лікаў.

    14. Чаму роўная магутнасць мноства пунктаў плоскасці з рэчаіснымі каардынатамі?

    15. Даказаць, што мноства пунктаў адкрытага адзінкавага квадрата мае магутнасць кантынуума.

    16. Вызначыць магутнасць мноства усіх акружнасцяў на плоскасці.

    17. Даказаць, што мноства ўсіх адрэзкаў на лікавай прамой – мноства магутнасці кантынуума.

    18. Даказаць, што любое мноства на лікавай прамой, якое змяшчае прынамсі адзін унутраны пункт, ёсць мноства магутнасці кантынуума.

    19. Даказаць, што магутнасць мноства функцый, непарыўных на адрэзку роўная магутнасці кантынуума.

    20. Як звязаны паміж сабой магутнасць мноства пунктаў адрэзка і магутнасць мноства ўсіх падмностваў мноства пунктаў адрэзка ?

Заданні для пазааўдыторнай работы

    1. На каардынатнай плоскасці дадзены круг радыуса . Няхай – мноства пунктаў круга з рацыянальнымі каардынатамі, – мноства пунктаў круга з ірацыянальнымі каардынатамі, – мноства пунктаў круга, – мноства ўсіх падмностваў мноства . Як звязаны паміж сабой магутнасці адзначаных мностваў?

    2. Даказаць, што калі адлегласць паміж любымі двума пунктамі мноства на прамой большая за адзінку, то мноства канечнае або злічонае.

    3. Ці зменіцца магутнасць бясконцага мноства, калі ад яго адняць
      злічонае мноства?

    4. Знайсці магутнасць мноства пунктаў разрыву строга манатоннай функцыі, вызначанай на прамежку .

    5. Вызначыць магутнасць мноства акружнасцяў на плоскасці:
      а) з рацыянальнымі каардынатамі цэнтра; б) з рацыянальным радыусам;
      в) з ірацыянальным радыусам; г) ірацыянальным радыусам і ірацыянальнымі каардынатамі цэнтра.

    6. На плоскасці пабудавана некаторае мноства акружнасцяў, якія парамі не перасякаюцца. Ці можа гэтае мноства быць незлічоным?

    7. Даказаць, што мноства пунктаў плоскасці, якое мае прынамсі адзін унутраны пункт, мае магутнасць кантынуума.

    8. Якое мноства мае найменшую магутнасць? Якое з бясконцых мностваў мае найменшую магутнасць?


§ 4. Метрычныя прасторы

Няхай – некаторае мноства, – адлюстраванне мностваў у мноства рэчаісных лікаў , якое задавальняе наступным умовам:



  1. , прычым ;

  2. ;

  3. .

Мноства з функцыяй , гэта значыць пара называецца метрычнай прасторай. Элементы мноства называюцца пунктамі метрычнай прасторы. Функцыя называецца адлегласцю або метрыкай.

Метрычная прастора абазначаецца таксама адной літарай, напрыклад, . Падчас метрычную прастору абазначаюць літарай , г. зн. той літарай, што і само мноства .

Няхай зададзена метрычная прастора , г. зн. пара , дзе – функцыя з уласцівасцямі 1, 2, 3.

Мноства ўсіх пунктаў метрычнай прасторы , для якіх выконваецца няроўнасць , называецца адкрытым шарам з цэнтрам у пункце і радыусам . Гэтае мноства называюць таксама – наваколлем пункта .

Наваколлем пункта называецца любы адкрыты шар, які змяшчае .

Пункт называецца ўнутраным пунктам мноства , калі існуе такое наваколле гэтага пункта, якое цалкам змяшчаецца ў .

Мноства называецца адкрытым, калі кожны пункт мноства з’яўляецца ўнутраным пунктам гэтага мноства.

Пункт называецца лімітавым пунктам мноства , калі любое наваколле гэтага пункта змяшчае прынамсі адзін пункт мноства , адрозны ад .

Пункт называецца ізаляваным пунктам мноства , калі ў гэтага пункта існуе наваколле, якое не змяшчае ніякіх іншых пунктаў мноства , акрамя самаго пункта .

Мноства называецца замкнутым, калі яно змяшчае ўсе свае лімітавыя пункты.

Адзначым некаторыя ўласцівасці адкрытых і замкнутых мностваў.


  1. Аб’яднанне любой сукупнасці адкрытых мностваў і перасячэнне канечнай сукупнасці адкрытых мностваў з’яўляюцца адкрытымі мноствамі.

  2. Калі мноства з’яўляецца адкрытым, то яго дадатак да метрычнай прасторы ёсць замкнутае мноства.

  3. Калі мноства з’яўляецца замкнутым, то яго дадатак да метрычнай прасторы будзе адкрытым мноствам.

  4. Аб’яднанне любой канечнай сукупнасці замкнутых мностваў і перасячэнне любой сукупнасці замкнутых мностваў з’яўляюцца замкнутымі мноствамі.

Пункт называецца лімітам паслядоўнасці пунктаў метрычнай прасторы , калі для любога ліку існуе такі нумар , што для ўсіх нумароў выконваецца няроўнасць .

Калі пункт з’яўляецца лімітам паслядоўнасці , то гэты факт сімвалічна запісваюць так: .

Паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы называецца фундаментальнай, калі для любога існуе такі нумар , што для ўсіх .

Кожная збежная паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы з’яўляецца фундаментальнай; аднак адваротнае сцвярджэнне не мае месца, бо існуюць такія метрычныя прасторы, у якіх маюцца фундаментальныя паслядоўнасці, якія не збягаюцца.

Метрычная прастора называецца поўнай, калі любая фундаментальная паслядоўнасць яе элементаў збягаецца (да элемента гэтай прасторы).

Няхай – адлюстраванне метрычнай прасторы у сябе. Пункт , для якога , называецца нерухомым пунктам адлюстравання .

Адлюстраванне метрычнай прасторы у сябе называецца сціскальным, калі існуетакі лік , што для любых выконваецца няроўнасць

.

Любое сціскальнае адлюстраванне поўнай метрычнай прасторы у сябе мае адзін і толькі адзін нерухомы пункт , прычым ёсць ліміт паслядоўных набліжэнняў для , пабудаваных пры любым выбары пачатковага набліжэння .



Заданні для аўдыторнай работы

  1. Даказаць, што для любых пунктаў метрычнай прасторы праўдзівай з’яўляецца «няроўнасць мнагавугольніка»:

.

  1. Няхай – любое мноства. Мяркуем

Даказаць, што – метрыка на .



  1. Ці будзе метрычнай прасторай мноства рэчаісных лікаў, калі за адлегласць паміж лікамі і прыняць ?

  2. Ці з’яўляюцца метрыкамі на прамой наступныя функцыі:

а) ;

б) ;

в) ?

  1. Няхай – мноства ўсіх пунктаў акружнасці. Зафіксуем на акружнасці пункт і вызначым адлегласць паміж двума пунктамі гэтай акружнасці наступным чынам: калі і , то роўная даўжыні той дугі акружнасці, якая злучае пункты і , і не праходзіць праз пункт ; калі або , то роўная даўжыні карацейшай дугі, якая злучае пункты і ; калі , то . Ці з’яўляецца мноства метрычнай прасторай?

  2. На акружнасці можна вызначыць дзве метрыкі – адлегласць па хордзе і адлегласць па дузе. Як выражаецца адна метрыка праз другую?

  3. Даказаць, што калі – метрыка на , то функцыя

таксама з’яўляецца метрыкай на .



  1. Пабудаваць наваколле пункта і радыусам 1 у метрычных прасторах , калі

а) – мноства пунктаў лікавай восі, ;

б) – мноства пунктаў каардынатнай плоскасці,



;

в) – мноства пунктаў каардынатнай плоскасці,

;

г) – мноства непарыўных на адрэзку функцый,

.

  1. Няхай , дзе – аднамерная эўклідава прастора. Знайсці:

а) мноства ізаляваных пунктаў; б) мноства лімітавых пунктаў; в) мноства ўнутраных пунктаў.

Даследаваць мноства на адкрытасць і замкнутасць.



  1. Пабудаваць такое мноства , каб мноствам яго лімітавых пунктаў было мноства .

  2. Ці будзе інтэрвал на восі адкрытым мноствам на плоскасці? Ці будзе адрэзак замкнутым мноствам на плоскасці?

  3. Няхай – мноства натуральных лікаў з адлегласцю паміж імі . Даказаць, што пара з’яўляецца поўнай метрычнай прасторай.

  4. Няхай – мноства пунктаў прамежку з адлегласцю паміж імі . Даказаць, што пара не з’яўляецца поўнай метрычнай прасторай. Ці будзе поўнай метрычнай прасторай адрэзак ?

  5. Няхай – мноства рацыянальных лікаў з адлегласцю паміж імі . Даказаць, што пара не з’яўляецца поўнай метрычнай прасторай.

  6. Паказаць, што функцыя адлюстроўвае прамежак у сябе. Ці з’яўляецца гэта адлюстраванне сціскальным?

  7. Няхай у эўклідавай прасторы дадзена сістэма раўнанняў

. (1)

Правую частку роўнасцяў (1) можна разглядаць як аператар , які пераводзіць элемент у элемент з каардынатамі , дзе – фіксаваны элемент. Якім умовам павінны задавальняць каэфіцыенты , каб аператар быў сціскальным?



Заданні для пазааўдыторнай работы

  1. Ці будзе пара метрычнай прасторай?

  2. Ці будзе пара
    метрычнай прасторай?

  3. Пабудаваць наваколле у метрычных прасторах , калі

а) – мноства пунктаў лікавай восі, ;

б) – мноства пунктаў каардынатнай плоскасці, ;

в) – мноства пунктаў каардынатнай плоскасці,

;

г) – мноства пунктаў каардынатнай плоскасці,

;

д) – мноства непарыўных на адрэзку функцый,

.

  1. Даследаваць на адкрытасць і замкнутасць наступныя мноствы:

а) , дзе – падмноствы прасторы ;

б) , , дзе – падмноствы прасторы .

  1. Праверыць, што функцыя адлюстроўвае прамежак у сябе. Ці з’яўляецца гэтае адлюстраванне сціскальным?

  2. Няхай функцыя , вызначаная на адрэзку , задавальняе ўмовам: . Ці будзе мець рашэнне раўнанне ?


§ 5. Мера лінейных мностваў

Будзем разглядаць лінейныя мноствы, г. зн. мноствы пунктаў эўклідавай прамой.

Няхай – адкрытае мноства. Калі інтэрвал змяшчаецца ў , але яго канцы гэтаму мноству не належаць, то гэты інтэрвал называецца складовым інтэрвалам мноства .

Кожнае непустое абмежаванае адкрытае мноства з’яўляецца аб’яднаннем канечнай або злічонай сукупнасці інтэрвалаў, якія парамі не перасякаюцца, і канцы якіх не належаць мноству .

Інакш кажучы, кожнае непустое абмежаванае адкрытае мноства ёсць яб’яднанне канечнай або злічонай сукупнасці ўсялякіх розных складовых інтэрвалаў гэтага мноства. Мае месца і адваротнае сцвярджэнне: любое мноства, якое з’яўляецца яб’яднаннем інтэрвалаў, будзе адкрытым.

Кожнае непустое абмежаванае замкнутае мноства з’яўляецца ці адрэзкам, ці атрымана з некаторага адрэзка выкідваннем з гэтага адрэзка канечнай або злічонай сукупнасці інтэрвалаў, якія парамі не перасякаюцца, і канцы якіх належаць дадзенаму мноству. Мае месца адваротнае сцвярджэнне: любое мноства, атрыманае з адрэзка выкідваннем некаторай сукупнасці інтэрвалаў, будзе замкнутым.

Мерай інтэрвала называецца яго даўжыня, г. зн. лік . Абазначэнне:

.

Мерай непустога абмежаванага адкрытага мноства называецца сума мер усіх яго складовых інтэрвалаў : .

Пад разумеем або .

Калі адкрытае абмежаванае мноства з’яўляецца яб’яднаннем канечнай або злічонай сукупнасці адкрытых мностваў, якія парамі не перасякаюцца: , то .

Няхай – некаторае непустое абмежаванае замкнутае мноства; – найменшы адрэзак, які змяшчае гэтае мноства .

Мерай непустога абмежаванага замкнутага мноства называецца лік .

Няхай абмежаванае замкнутае мноства ёсць аб’яднанне канечнай сукупнасці замкнутых мностваў, якія парамі не перасякаюцца: , тады .

Вонкавай мерай абмежаванага мноства называецца ніжняя мяжа мер разнастайных адкрытых абмежаваных мностваў, якія змяшчаюць мноства :



.

Унутранай мерай абмежаванага мноства называецца верхняя мяжа мер разнастайных замкнутых мностваў, якія змяшчаюцца ў мностве :



.

Калі ёсць адкрытае абмежаванае мноства, то .

Калі – замкнутае абмежаванае мноства, то .

Для кожнага абмежаванага мноства мае месца няроўнасць



.

Абмежаванае мноства называецца вымерным (вымерным па Лебегу), калі



.

Пры гэтым агульнае значэнне ўнутранай і вонкавай мер мноства называецца мерай (мерай Лебега) дадзенага мноства і абазначаецца праз :



.

Адкрытае абмежаванае мноства з’яўляецца вымерным. Яго мера супадае з мерай, вызначанай раней.

Замкнутае абмежаванае мноства з’яўляецца вымерным. Яго мера супадае з вызначанай раней мерай.

Калі абмежаванае мноства з’яўляецца аб’яднаннем канечнай або злічонай сукупнасці вымерных мностваў , якія парамі не перасякаюцца, то мноства з’яўляецца вымерным, і



.

Аб’яднанне канечнай сукупнасці вымерных мностваў ёсць мноства вымернае. Перасячэнне канечнай сукупнасці вымерных мностваў будзе вымерным мноствам.

Рознасць вымерных мностваў і ёсць вымернае мноства. Прычым, калі , то

.

Калі абмежаванае мноства з’яўляецца аб’яднаннем злічонай сукупнасці вымерных мностваў, то – вымернае мноства.

Перасячэнне злічонай сукупнасці вымерных мностваў будзе вымерным мноствам.

Не кожнае мноства з’яўляецца вымерным: існуе абмежаванае невымернае мноства.



Заданні для аўдыторнай работы

    1. Няхай . Пабудаваць некалькі адкрытых мностваў , якія пакрываюць мноства .

    2. Зыходячы з азначэння меры адкрытага мноства, знайсці меры мностваў:

а) ;

б) ;

в) .

    1. Зыходячы з азначэння, знайсці вонкавыя меры мностваў:

а) ;

б) , дзе – мноства натуральных лікаў;

в) .

    1. Даказаць, што вонкавая мера адрэзка роўная яго даўжыні.

    2. Няхай . Знайсці мноства сумежных
      да інтэрвалаў.

    3. Зыходзячы з азначэння меры замкнутага мноства, знайсці меры мностваў:

а) ;

б) ;

в) .

    1. Знайсці меру кантаравага дасканалага мноства.

    2. Знайсці меру мноства ірацыянальных лікаў адрэзка .

    3. Няхай . Знайсці меру мноства .

    4. Ці можа раўняцца нулю мера мноства, якое ўтрымлівае хаця б адзін унутраны пункт?

    5. Ці можна пабудаваць на адрэзку замкнутае мноства, адрознае ад адрэзка , мера якога роўная ?

Заданні для пазааўдыторнай работы

    1. Знайсці меру мноства , дзе – кантарава дасканалае мноства.

    2. Чаму роўная мера мноства ?

    3. Пабудаваць тры розныя адкрытыя мноствы , якія пакрываюць мноства .

    4. Знайсці вонкавыя меры мностваў:

; .

    1. Знайсці меры замкнутых мностваў:

.

    1. Знайсці ўнутраныя меры мностваў:

; .

    1. Чаму роўная мера мноства рацыянальных лікаў адрэзка ?

    2. Ці можна пабудаваць на інтэрвале замкнутае мноства меры ?

    3. Знайсці меры мностваў:

; , дзе – мноства рацыянальных лікаў, – мноства ірацыянальных лікаў, – мноства натуральных лікаў.
§ 6. Вымерныя функцыі

Лікавая функцыя , зададзеная на мностве , дзе – падмноства эўклідавай прамой, называецца вымернай (вымернай па Лебегу), калі выконваюцца наступныя дзве ўмовы:



  1. мноства – вымернае;

  2. для любога ліку вымерным будзе мноства , якое складаецца з тых пунктаў мноства , для якіх мае месца няроўнасць .

Уласцівасці вымерных функцый і прыклады гэтых функцый

  1. Любая функцыя, зададзеная на мностве меры нуль, з’яўляецца вымернай.

  2. Калі функцыя з’яўляецца вымернай на мностве , то яна будзе вымернай таксама і на любым яго вымерным падмностве .

  3. Калі функцыя ( – рэчаісны лік) зададзена на вымерным мностве , то дадзеная функцыя будзе вымернай.

  4. Калі функцыя з’яўляецца вымернай на мностве , то для любога ліку вымернымі будуць наступныя мноствы: , .

  5. Калі функцыя непарыўная на замкнутым абмежаваным мностве , то яна будзе вымернай на гэтым мностве.

  6. Няхай функцыя зададзена на абмежаваным мностве , якое з’яўляецца аб’яднаннем канечнай або злічонай сукупнасці мностваў : . Калі функцыя вымерная на кожным мностве , то яна будзе вымернай і на мностве .

  7. Няхай функцыя , зададзеная на мностве , з’яўляецца вымернай, – рэчаісны лік. Тады вымернымі будуць наступныя функцыі:

.

  1. Няхай функцыі і , зададзеныя на мностве , вымерныя. Тады мноства будзе вымерным.

  2. Няхай функцыі і вымерныя на мностве . Тады вымернымі будуць і наступныя функцыі:

Няхай некаторая акалічнасць мае месца для ўсіх пунктаў некаторага мноства , акрамя пунктаў мноства , якое змяшчаецца ў і мае меру нуль . Тады гавораць, што дадзеная акалічнасць мае месца амаль усюды на мностве або амаль для ўсіх пунктаў мноства .

Дзве функцыі і , зададзеныя на мностве , называюцца эквівалентнымі на гэтым мностве , калі амаль усюды на мностве . Пры гэтым запісваюць: .


  1. Калі функцыі і эквівалентныя на мностве , і адна з іх вымерная на гэтым мностве , то і другая функцыя вымерная на дадзеным мностве.

Функцыя , зададзеная на адрэзку , называецца прыступкавай, калі адрэзак можна разбіць пунктамі на канечны лік частак, унутры якіх, г. зн. на інтэрвалах дадзеная функцыя з’яўляецца сталай.

  1. Прыступкавая функцыя з’яўляецца вымернай.

  2. Няхай на мностве зададзена паслядоўнасць вымерных функцый а таксама некаторая функцыя . Калі амаль усюды на мностве выконваецца роўнасць , то функцыя будзе вымернай на мностве .

  3. Тэарэма Лузіна. Няхай функцыя зададзеная і вымерная на адрэзку . Тады для любога дадатнага ліку існуе такая непарыўная на адрэзку функцыя , што .


Заданні для аўдыторнай работы

    1. Няхай вызначана на адрэзку . Знайсці мноствы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Указаць меру кожнага знойдзенага мноства.



    1. Няхай функцыя вызначана на мностве . Знайсці мноствы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Зыходзячы з азначэння вымернай функцыі, даказаць, што функцыя вымерная на мностве .



    1. Паказаць, што з таго, што функцыя вымерная на мностве , яшчэ не вынікае, што вымерная на .

    2. Даказаць, што калі функцыя вымерная на мностве , то і вымерная на .

    3. Даказаць, што функцыя са значэннямі

вымерная на адрэзку ( – мноства рацыянальных лікаў).



    1. Даказаць, што калі функцыі і вымерныя на мностве , то функцыі
      таксама вымерныя на .

    2. Ці будзе вымернай функцыя , роўная ва ўсіх пунктах перасячэння кантаравага мноства і некаторага невымернага мноства і роўная ва ўсіх астатніх пунктах адрэзка ?

    3. Даказаць, што калі мае вытворную ва ўсіх пунктах адрэзка , то гэтая вытворная з’яўляецца вымернай функцыяй на адрэзку .

    4. Даказаць, што калі функцыя вымерная на мностве , то функцыя

( – адвольна зададзеныя лікі, ) таксама вымерная на .



Заданні для пазааўдыторнай работы

    1. Няхай функцыя вызначана на мностве . Знайсці мноствы .

    2. Карыстаючыся азначэннем, даказаць, што функцыя вымерная на адрэзку .

    3. Даказаць, што функцыя, манатонная на вымерным мностве , вымерная.

    4. Даказаць, што функцыя са значэннямі

дзе – кантарава мноства, вымерная на адрэзку .



    1. Даказаць, што калі функцыі і вымерныя, то вымерная і функцыя , калі .

    2. Даказаць, што сума збежнага на адрэзку шэрагу вымерных функцый ёсць вымерная функцыя.


§ 7. Інтэграл Лебега

Няхай на вымерным мностве Е зададзена абмежаваная вымерная функцыя f(x).

Паколькі функцыя f абмежаваная на мностве Е, то існуюць такія лікі А і В, што
.

Разбіваем адрэзак на n частак пунктамі


.

Разгледзім мноствы



.

Гэтыя мноствы валодаюць наступнымі ўласцівасцямі:



  1. мноствы lk парамі не перасякаюцца;

  2. мноствы lk з’яўляюцца вымернымі, як перасячэнне вымерных мностваў;



  3. .

Пабудуем наступныя сумы:

,

.

Гэтыя сумы называюцца ніжняй і верхняй (інтэгральнымі) сумамі Лебега.

Мяркуем: .

Калі існуе агульны ліміт верхніх і ніжніх сум Лебега пры імкненні да нуля, то функцыя f(x) называецца інтэгравальнай па Лебегу на мностве Е і гэты агульны ліміт сум Лебега называецца інтэгралам Лебега ад f(x) па мноству Е:



.

Калі зразумела, што размова ідзе пра інтэграл Лебега, то знак перад абазначэннем інтэграла часта адкідваюць.

Калі Е=[a, b], то інтэграл Лебега абазначаецца таксама так:

або .

Тэарэма 1. Інтэграл Лебега існуе для любой функцыі, якая абмежаваная і вымерная на мностве Е.

  • Асноўныя ўласцівасці інтэграла Лебега


  1. Калі функцыя f(x) з’яўляецца вымернай на мностве Е і на гэтым мностве задавальняе ўмове , то

.

  1. Няхай вымернае мноства Е ёсць аб’яднанне канечнай або злічонай сукупнасці мностваў, якія парамі не перасякаюцца : .

Няхай на мностве Е зададзена абмежаваная вымерная функцыя f(x). Тады мае месца наступная роўнасць:

.

  1. Няхай на мностве Е зададзены дзве абмежаваныя вымерныя функцыі f(x) і g(x). Калі f(x)g(x) на мностве Е, то

.

  1. Калі f(x) 0 амаль усюды на мностве Е і , то f(x)0 на мностве Е.

  2. Няхай функцыі f(x), g(x) абмежаваныя і вымерныя на мностве Е. Тады

,

(с –– адвольны рэчаісны лік).

  1. Няхай функцыі f(x) і g(x) абмежаваныя і вымерныя на мностве Е. Калі f(x)g(x) амаль усюды на мностве Е, то

.

  1. Няхай функцыя f(x) абмежаваная і вымерная на мностве Е. Тады

.

  1. Няхай на вымерным мностве зададзена паслядоўнасць вымерных функцый:

якая збягаецца амаль усюды на мностве Е да функцыі f(x). Калі існуе такі лік М, што для ўсіх n і амаль усіх



,

то , г. зн. магчымы лімітавы пераход пад знакам інтэграла Лебега.



Тэарэма 2. Калі на адрэзку [a, b] функцыя f(x) інтэгравальная па Рыману, то яна будзе вымернай на адрэзку [a, b], прычым мае месца роўнасць:

.

Тэарэма 3. Для таго, каб абмежаваная функцыя f(x), зададзеная на адрэзку [a, b], была інтэгравальнай па Рыману, неабходна і дастаткова, каб мноства ўсіх яе пунктаў разрыву мела роўную нулю меру.

Распаўсюдзім паняцце інтэграла Лебега на выпадак, калі вымерная функцыя можа быць і неабмежаванай.

Няхай функцыя f вымерная і неадмоўная на мностве Е.

Для кожнага натуральнага ліку n разгледзім функцыю [f(x)]n, зададзеную наступнай роўнасцю:



Такая функцыя называецца зрэзанай функцыяй. Яна вымерная на мностве Е.



называецца інтэгралам Лебега ад функцыі f(x) па мноству Е і абазначаецца

або .

Калі гэты ліміт канечны, то функцыя f(x) называецца сумавальнай на мностве Е.

Такім чынам, мы прыпісваем інтэграл Лебега кожнай вымернай неадмоўнай функцыі, аднак сумавальнай будзем называць тую, у якой канечны інтэграл Лебега.

Няхай f –– вымерная функцыя любога знаку на мностве Е.

Разгледзім дзве дапаможныя функцыі:

і

Адзначым, што f+(x), f(x) –– неадмоўныя вымерныя на мностве Е функцыі. Адзначым таксама, што



.

Для кожнай дапаможнай функцыі існуе канечны або бясконцы інтэграл Лебага, г. зн. існуюць інтэгралы



.

Калі кожны з інтэгралаў канечны, то функцыя f(x) называецца сумавальнай на мностве Е, а рознасць называецца інтэгралам Лебега ад функцыі f(x) на мностве Е і абазначаецца гэтак:



або .

Такім чынам,



= .

Уласцівасці сумавальных функцый

  1. Для таго, каб вымерная на мностве Е функцыя f(x) была сумавальнай, неабходна і дастаткова, каб сумавальнай была функцыя |f(x)|. Калі гэтая ўмова выканана, то

.

  1. Сумавальная на мностве Е функцыя будзе сумавальнай і на любым яго вымерным падмностве.

  2. Калі f(x)g(x) і функцыя f(x) сумавальная на мностве Е, то функцыя g(x) будзе таксама сумавальнай на гэтым мностве, прычым

.

  1. Няхай мноства Е –– аб'яднанне канечнага ліку мностваў, якія парамі не перасякаюцца: . Калі функцыя f(x) сумавальная на кожным мностве Еk, то яна будзе сумавальнай і на мностве Е, прычым

.

  1. Калі функцыя f(x) сумавальная на мностве Е, якое з’яўляецца аб’яднаннем злічонага ліку мностваў, якія парамі не перасякаюцца: , то

.

  1. Няхай функцыі f(x) і g(x) з’яўляюцца сумавальнымі на мностве Е. Тады на гэтым мностве сумавальнымі з’яўляюцца і функцыі f(x)g(x), сf(x) (с –– адвольны рэчаісны лік), прычым



.

Заданні для аўдыторнай работы

7.1. Даказаць, карыстаючыся толькі азначэннем інтэграла Рымана, што функцыя f(x)=x інтэгравальная па Рыману на [0;1], і знайсці .

7.2. Пабудаваць інтэгральныя сумы Лебега для функцый

а) f(x)=2x+3 на мностве Е=[5;7];

б) f(x)=3–2x на мностве Е=[1;5];

в) f(x)=x24 на мностве Е=[1;2].

Вылічыце значэнні верхніх інтэгральных сум Лебега, разбіўшы мноства Е на 6 розеых частак, і параўнаць атрыманыя лікі з дакладнымі значэннямі інтэгралаў.



7.3. Даказаць, што функцыя Дырыхле

не інтэгравальная па Рыману на адрэзку [0;1], карыстаючыся: а) азначэннем інтэграла Рымана; б) крытэрыям Лебега.



7.4. Функцыя f мае значэнне 1 у пунктах кантаравага мноства і значэнне 5 ва ўсіх астатніх пунктах лікавай прамой. Даказаць, што функцыя f інтэгравальная па Лебегу на адрэзку [0;1]. Чаму роўны яе інтэграл Лебега на гэтым адрэзку.

7.5. Ці інтэгравальная па Лебегу функцыя

на адрэзку [0;1]? Чаму роўны яе інтэграл на гэтым адрэзку.



7.6. Вылічыць , калі

дзе D –– кантаравае мноства, а СD – яго дадатак да ўсяго адрэзка [0;1].



7.7. Даказаць, што функцыя

інтэгральная на [0;2], і вылічыць інтэграл (І –– мноства ірацыянальных лікаў, Q –– мноства рацыянальных лікаў).



7.8. Вылічыць , калі



7.9. Даказаць, што функцыя f такая, што f(0)=0 і пры х0, сумавальная на Е: [–1;8], і знайсці яе інтэграл.

7.10. Вылічыць інтэграл Лебега ад функцыі на інтэрвале (1;2).
  1. Заданні для пазаўдыторнай работы


7.11. Скласці некалькі інтэгральных сум Лебега для функцыі на адрэзку [0;].

7.12. Даказаць, што функцыя, роўная х2 у рацыянальных пунктах, інтэгравальная па Лебегу на адрэзку [0;1]. Чаму роўны яе інтэграл Лебега на гэтым адрэзку?

7.13. Вылічыце інтэграл Лебега ад функцыі

дзе Q –– мноства рацыянальных лікаў.



7.14. Ці сумавальная на прамежку (0;1) функцыя ?

7.15. Даказаць, што функцыя сумавальная на прамежку (0;1), і знайсці яе інтэграл.







База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка