Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл



Дата канвертавання11.06.2016
Памер98.65 Kb.




Раздзел 3. Інтэгральнае злічэнне

для функцыі адной зменнай
Глава 1. Нявызначаны інтэграл

§1.Паняцці першаіснай (першавобразнай)

і нявызначанага інтэграла

Азначэнне 1. Функцыя F называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xX F’(x) = f(x).

Напрыклад.

Тэарэма 1. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х, тады:

  1. і функцыя F(x) + c, дзе с - conct , з’яўляецца першаіснай функцыі f на мностве Х;

  2. кожная пеpшаісная Ф функцыі f на прамежку Х можа мець выгляд: Ф(х) = F(х) + с (1).



Тэарэма 2. Кожная непарыўная на прамежку Х функцыя мае першаісную.

Азначэнне 2. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х. Кожная першаісная Ф функцыі F(x) + c на прамежку Х называецца нявызначаным інтэгралам функцыі f на прамежку Х і абазначаецца :.

Функцыя f называецца падынтэгральнай функцыяй, дыферэнцыяльны выраз f(x)dx – падынтэгральным выразам.

Адпаведна т.2 (п.2) = Ф(х), а з улікам формулы (1) можна запісаць = F(x) + c. (2)

Аперацыя знаходжання кожнай першаіснай функцыі f называецца інтэграваннем, а выраз “браць інтэграл ад функцыі f” або “знайсці інтеграл ад функцыі f” азначае знаходжанне кожнай першаіснай функцыі f.



Прыклады.
Уласцівасці нявызначанага інтэграла

1 Вытворная ад нявызначанага інтэграла роўная падынтэгральнай функцыі:

()’ = f(x).



2 Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу:

d() = ()’ = f(x)dx.



3 Пастаянны множнік можна выносіць за знак інтэграла:

= а.

4 Інтэграл ад алгебраічнай сумы роўны алгебраічнай суме інтэгралаў:

.

Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў


1

, 1

10



2



11



3



12



4



13



5



14



6



15



7



16



8



17



9









Прыклады.

Заўвага. Вядома, што вытворныя ад элементарных функцый – функцыі элементарныя. Інтэграл ад элементарных функцый не заўсёды з’яўляецца элементарнай функцыяй. Таму інтэгралы ў гэтым выпадку можна знайсці расклаўшы падынтэгральную функцыю ў ступенеы шэраг.

Прыкладамі з’яўляюцца наступныя інтэгралы.

1. - інтэграл Пуасона. 2. - інтэгральны косінус.

3. - інтэгральны сінус.

4. - інтэгралы Фрэнэля.

§2. Асноўныя метады інтэгравання
п1. Метад замены зменнай

Тэарэма 1. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х, г.зн. = F(x) + c (1). Няхай x = u(t) - функцыя са значэннямі E(u)  X дыферэнцавальная на прамежку Т і мае непарыўную вытворную u’(t) на гэтым прамежку, то функцыя F(u(t)) з’яўляецца першаіснай функцыі f(u)u’(t) на мностве Т , г.зн. мае месца роўнасць: = F(u(t)) + c. (2)

 Паколькі xX F’(x) = f(x) (3), то функцыя h(t) = (Fu)(t) = F(u(t)) па тэарэме аб дыферэнцавальнасці складанай функцыі будзе дыферэнцавальнай і яе вытворная F ‘(u(t)) = F ‘(u)u’(t)=(у сілу (3)) = f(u)u’(t). Такім чынам F(u(t)) – першаісная функцыі f(u)u’(t) tT і мае месца роўнасць (2). 



Заўвага 1. Тэарэмай 1 карыстаюцца пры вылічэнні інтэгралаў, так званым метадам падстаноўкі ў двух выпадках:

1. Няхай вядомы інтэграл (1), трэба вылічыць інтэграл (2), тады



= = =F(x) + c = F(u(t)) + c.

Гэты метад называецца метадам паднясення пад знак дыферэнцыяла.



Заўвага 2. На падставе ўласцівасці першаіснай мае месца роўнасць:

=

Прыклады.

2. Трэба вылічыць інтэграл (1), скарыстаўшы падстаноўку x = u(t), дзе u(t) – адваротная функцыя манатонная і непарыўная на мностве Т. У выніку прыходзім да інтэграла (2):



= = = F(u(t)) + c, дзе u(t)= х.

Прыклады.
п2. Метад інтэгравання часткамі

Тэарэма 2. Няхай функцыі u(х) і v(x )дыферэнцавальныя і непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць:

, (4)

або карацей - формула інтегравання часткамі.



Заўвага 3.

Прыклады.
§3. Інтеграванне рацыянальных функцый

(рацыянальных дробаў)
п1.Інтеграванне простых рацыянальных дробаў

Азначэнне 1. Дpобы выгляду (І), (ІІ), (ІІІ), (IY), дзе A, a, M, N, p, q  R, n  N, D = p2 – 4q < 0, называюцца простымі рацыянальнымі дробамі.

Тэарэма 1. Нявызначаныя інтэгралы ад простых рацыянальных дробаў (І-ІІІ) выражаюцца ў элементарных функцыях.

 для дробаў І – ІІІ.

Доказу выпадку (IY) папярэднічае рэкурэнтная формула для інтэграла = In:

. (1)

Формула (1) дазваляе падлічыць інтэграл In паслядоўным паніжэннем ступені ў назоўніку да той пары, пакуль не атрымаецца таблічны інтеграл

I1 = .

 для выпадку дробаў тыпу (IY).



Прыклад.
п2. Інтеграванне рацыянальных функцый (дробаў)

Азначэнне 2. Рацыянальнай функцыяй называецца функцыя выгляду , дзе Pn(x) i Qm(x) – мнагасклады ступеняў адпаведна n i m з сапраўднымі каэфіцыентамі:

Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an ,

Qm(x) = boxm + b1xm-1 + b2xm-2 + …+ bm-1x + bm.

Азначэнне 3. Рацыянальны дроб называецца правільным, калі ступень лічніка меней ступені назоўніка, і называецца няправільным, калі ступень лічніка роўна або болей ступені назоўніка.

Прыклады.

Заўвага. Цэлая рацыянальная функцыя – мнагасклад. Таму ўсякі няправільны рацыянальны дроб можна звесці да сумы мнагасклада і правільнага дроба. Другімі словамі, з усякага няправільнага дроба можна вылучыць цэлую частку – мнагасклад і дробавую частку – праільны дроб.

Прымем без доказа дзве тэарэмы.



Тэарэма 2. Мнагасклад Qm(x) можна адзіным чынам прадставіць у выглядзе здабытку лінейных множнікаў xa у адпаведных ступенях і квадратовых множнікаў віду x2 + px + q (D = p2 – 4q < 0) у адпаведных ступенях:

Qm(x) = (x – a1)r1(x – a2)r2…(x – ak)rk(x2 + p1x + q1)s1(x2 + p2x + q2)s2…

(x2 + ptx + qt)st, дзе r1+ r2+… rk+ 2(s1+ s1+… st) = m, ri,sj  N, i = 1,2,…,k,

j = 1,2,…,t. (2)



Тэарэма 3. Калі назоўнік правільнага рацыянальнага дроба Qm(x) можна прадставіць у выглядзе (2), то рацыянальны дроб адзіным чынам можна прадставіць у выглядзе сумы простых рацыянальных дробаў віду (I- IY), дзе множніку (x – a)k адпавядае сума: + + …+ , множніку (x2 + px + q )t – сума: + +…+.

Прыклад.

Заўвага 1. Невядомыя каэфіцыенты ў раскладанні рацыянальнага дробу на простыя дробы можна знайсці , так званым, метадам нявызначаных каэфіцыентаў па наступнаму алгарытму:

1) правую частку раскладання прыводзім да агульнага назоўніка; атрымаем роўнасць двух дробаў з агульнымі назоўнікамі, у лічніках якіх мнагасклады;

2) параўнаем мнагасклады і скарыстаем умову тоеснай роўнасці: роўнасць каэфіцыентаў пры аднолькавых ступенях правай і левай частак;

2) рашым сістэму раўнанняў адносна невядомых каэфіцыентаў.



Заўвага 2. Інтэграванне рацыянальных дробаў падпарадкоўваецца наступнаму алгарытму:

  1. выдзяліць цэлую частку, калі дроб няправільны;

  2. раскласці назоўнік на множнікі тыпу (2).

  3. скарыстаць метад нявызначаных каэфіцыентаў.

З тэарэм 1,2,3 вынікае тэарэма 4.



Тэарэма 4. Інтэграл ад рацыянальнай функцыі выражаецца ў элементарных функцыях.

Сапраўды па т.3 усякі рацыянальны дроб можна прадставіць у выглядзе сумы мнагасклада і простага рацыянальнага дроба, інэгралы ад якіх па т.1 з’яўляюцца элементарнымі функцыямі, а таму і інтэграл ад рацыянальнай функцыі – элементарная функцыя як сума элементарных функцый.



Прыклады.
§4. Інтеграванне ірацыянальных функцый

Азначэнне 1. Будзем называць функцыю ірацыянальнай, калі ў яе формуле ёсць радыкал (корань).

Прыклад.

Азначэнне 2. Праз R(x,y) будзем абазначаць рацыянальную функцыю, у склад якой х і у уваходзяць злучаныя знакамі арыфметычных дзеянняў.

Напрыкад, 1) R(x,y) = ; 2) , дзе ролю у адыгрывае .

Інтеграванне функцый выгляду .

Кажуць, што інтэграл ад іраыянальнай функцыі рацыяналізуецца, калі пры дапамозе адпаведнай падстаноўкі яго можна звесці да інтэграла ад рацыянальнай функцыі. З папярэдняга параграфу вядома, што інтэграл ад рацыянальнай функцыі можна выразіць ў элементарных функцыях.



Тэарэма 1. Інтэграл ад функцыі , дзе nN, a,b,c,dR, рацыяналізуецца падстаноўкай

Заўвага. Інтэграл ад функцыі рацыяналізуецца падстаноўкай , дзе k = НАК(k1,k2,…,kn).

Прыклады.
Інтэграванне бінаміяльнага дыферэнцыяла

(дыферэнцыяльнага біному)

Азначэнне 3. Выраз , дзе m, n, p Q называецца бінаміяльным дыферэнцыялам або дыферэнцыяльнам біномам , а - інтэгралам ад дыферэнцыяльнага біному .

Тэарэма 2. Інтэграл ад дыферэнцыяльнага біному рацыяналізуецца ў наступных выпадках:

1. а) m, n, p Z  інтэграл ад рацыянальнай функцыі.

б) p Z, m, n – дробы, тады I = рацыяналізуецца падстаноўкай x = ts.



2. рдробавы лік. Для рацыяналізацыі інтэграла разгледзім дзве ўмовы: 1) калі  Z, то працуе падстаноўка a+bxn = ts, дзе s – назоўнік р ; 2) калі Z, то лічым , калі гэта сума  Z, то працуе падстаноўка a + bxn = tsxn.

Рускі матэматык П.Л.Чэбышоў даказаў т.2 і паказаў, што інтэграл ад дыферэнцыяльнага біному выражаецца ў элементарных функцыях толькі ў прапанаваных выпадках.



Тэарэма 3. Інтэгралы тыпу рацыналізуюцца, так званай, адваротнай падстаноўкай .

Прыклады.
Трыганаметрычныя падстаноўкі

  1. Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .

  2. Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .

  3. Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .


Прыклады

ёІнтэграванне выразаў падстаноўкамі Эйлера
Тэарэма 4. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца з дапамогай адной з наступных падстановак Эйлера:

1) = , a > 0;

2) = t – (x  ), дзе  - корань ;

3) = , с > 0.



Прыклады.
§5. Інтеграванне трыганаметрычных функцый

Тэарэма 1. Інтэграл тыпу (1) рацыяналізуецца з дапамогай універсальнай падстаноўкі .



Тэарэма 2. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца з дапамогай універсальнай падстаноўкі .





Заўвага 1. Можна даказаць, што калі , то інтеграл (1) рацыяналізуецца падстаноўкай .

Заўвага 2. Можна даказаць, што калі , то інтеграл (1) рацыяналізуецца падстаноўкай , калі , то падстаноўкай .

Прыклады.

Заўвага 3. Інтэграл тыпу (2) з’яўляецца чстковым выпадкам інтэграла (1), калі ) m, n Z і бярэцца з дапамогай адной з вышназваных падстановак, але яго можна знайсці прасцей у наступных выпадках:

  1. калі m – няцотны лік, n Z, то падстаноўкай (або sinx паднясем пад знак дыферэнцыяла), калі n – няцотны лік, m Z, то падстаноўкай (або cosx паднясем пад знак дыферэнцыяла);

  2. калі m i n – цотныя дадатныя лікі, то ступень функцый можна панізіць па формулах: .

  3. калі m i n – цотныя лікі розных знакаў, то падстаноўкай .



Заўвага 4. Інтэгралы тыпу рацыяналізуюцца падстаноўкай ex = t.


База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка