Тэма 1: Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла Азначэнне 1



Дата канвертавання18.06.2016
Памер384.4 Kb.
Тэма 1: Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла

Азначэнне 1.1. Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежку лікавай восі R , гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале ці адрэзку.

Функцыя F(x) , якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f(x) на , калі



  1. функцыя F(x) непарыўна на прамежку ,

  2. ва ўсіх унутраных пунктах прамежку функцыя f(x) мае вытворную і F’(x)=f(x) ў прыватнасці.

Азначэнне 1.2. Функцыя F(x) называецца першаіснай для функцыі f(x) на інтэрвале (a,b), калі ў любым пункце x інтэрвала (a,b) функцыя F(x) дыферэнцавальная і мае вытворную F’(x), якая роўна f(x).

Тэарэма 1.1. Калі функцыя F(x) з’яўляецца якой-небудзь першаіснай для функцыі f(x) на прамежку , тады кожная функцыя (x) выгляду (x)=F(x)+C, таксама з’яўляецца першаіснай функцыі f(x) і ўсякая першаісная функцыі f(x) мае выгляд

, дзе С=const.

Азначэнне 1.3. Сукупнасць усіх першаісных функцый f(x), якія вызначаны на некаторым прамежку , называецца нявызначанным інтэгралам ад функцыі f(x) на гэтым прамежку і абазначаецца .

Калі F(x) якая-небудзь першаісная функцыі f(x) на , то , дзе С – адвольная сталая.


Асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла

  1. Няхай функцыя F(x) непарыўная на і дыферэнцавальная ва ўнутраных пунктах, тады .

  2. Няхай f(x) мае першаісную на , тады для любога ўнутранага пункта прамежку мае месца роўнасць .

  3. Калі функцыі i маюць першаісныя на тады функцыя таксама мае першаісную на , прычым .

  4. Калі функцыя f(x) мае першаісную на і k – лік, тады функцыя k f(x) таксама мае на першаісную, прычым .


Табліца інтэгралаў

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Асноўныя метады інтэгравання
Замена зменных у нявызначаным інтэграле

Тэарэма 2. Няхай функцыя вызначана і непарыўна на прамежку , дыферэнцавальная ўнутры яго і адрозніваецца ад канстанты, g – функцыя, якая вызначана на прамежку , мае на ім першаісную G і

.

Тады f мае першаісную на і



. (1)

Тэарэма 3. Няхай непарыўная на прамежку, I строга манатонная на ім і дыферэнцавальная ў кожным унутраным пункце I функцыя. Калі функцыя мае першаісную на I, тады f мае першаісную на і , (2)

дзе – функцыя на адваротная да .



Заўвага.

- формула ўводзіны множніка пад знак дыферанцыяла,



- формула інтэгравання заменай зменнай.
Інтэграванне на частках
Тэарэма 4. Калі функцыі u(x) і v(x) непарыўныя на некаторым прамежку, дыферэнцавальныя ўнутры яго і на гэтым прамежку існуе інтэграл , тады на ім існуе і інтэграл , прычым

.
Пытанні для самакантролю


  1. Дайце азначэнне першаіснай на адвольным прамежку .

  2. Дайце азначэнне першаіснай на інтэрвале.

  3. Дайце азначэнне нявызначанага інтэграла.

  4. Сфармулюйце і дакажыце асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла.

  5. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні падстаноўкай у нявызначаным інтэграле.

  6. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні заменай зменнай у нявызначаным інтэграле.

  7. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму аб інтэграванні па частках у нявызначаным інтэграле.


Прыклады рашэння задач

Разгледзім прыклады непасрэднага інтэгравання

  1. .

Карыстаючыся ўласцівасцямі нявызначанага інтэграла і формуламі табліцы інтэгралаў, атрымаем



.
Заўважым, што адвольныя сталыя, якія ўваходзяць паводле азначэння ў кожны нявызначаны інтэграл, аб’ядноўваюцца ў адну адвольную сталую.

  1. .






.




.




.




.




.
Уводзіны множніка пад знак дыферэнцыяла ажыццяўляецца паводле формулы , дзе (формула 1 тэарэмы 2).

  1. .






.




.





.




.


  1. .







.


  1. .




  1. .




  1. .






.






.




.




.


  1. ,

дзе .
Практыкаванні для самастойнай работы
Знайсці інтэгралы


































































Замена зменных





.




.




.










.








.






.








.

Практыкаванні для самастойнай работы







  1. або


































  1. ,






































Інтэграванне па частках

Да ліку інтэгралаў, якія вылічваюцца інтэграваннем па частках адносяцца, напрыклад, інтэгралы выгляду , дзе – мнагасклад, адна з наступных функцый ,



  1. .






.






.

Паўторнае інтэграванне па частках часам прыводзіць да раўнання адносна шуканага інтэграла



,

атрымалі раўнанне адносна I.



ці , тады

Часам інтэграванне па частках дазваляе атрымаць суадносіны паміж нявызначаным інтэгралам, які змяшчае ступень некаторай функцыі, і аналагічным інтэгралам, але з меншым паказчыкам ступені гэтай жа функцыі. Гэтыя суадносіны называюцца рэкурэнтнымі формуламі.

4. Знайсці рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла


  1. .





, адсюль

Гэта формула дазваляе вылічыць інтэграл з дапамогай інтэграла , і таму інтэграл з любым натуральным індэксам, дзе



.
Разгледзім інтэграл выгляду , дзе – мнагасклад.







.

Для вылічэння інтэгралаў такога тыпу можна скарыстоўваць метад нявызначананых каэфіцыентаў.



  1. Знайсці метадам нявызначаных каэфіцыентаў

  2. .

Лічым, што .

Прадыферэнцуем гэтую роўнасць , ці

Прыраўняўшы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях , атрымаем сістэму для вызначэння каэфіцыентаў А,В,С.

.

Адсюль вынік



.

Метад нявызначаных каэфіцыентаў можна скарыстоўваць да інтэгралаў выгляду



Практыкаванні для самастойнай работы
Вылічыць інтэгралы метадам інтэгравання па частах.












  1. ,

















































































Карыстаючыся інтэграваннем па частках, атрымайце наступныя рэкурэнтныя формулы


















  1. ,

Тэма 2. Інтэграванне рацыянальных функцый

Няхай і мнагасклады з сапраўднымі каэфіцыентамі.

Азначэнне. Рацыянальны дроб называецца правільным, калі ступень мнагаскладу меньш за ступень мнагаскладу . У процілеглым выпадку дроб называецца няправільным.

Тэарэма. Няхай правільны рацыянальны дроб. , – мнагасклады з сапраўднымі каэфіцыентамі. Калі мае выгляд ,

дзе – парамі розныя сапраўдныя карані мнагаскладу кратнасці , і=1,2,…,r і , і=1,2,…,s , тады існуюць сапраўдныя лікі , (*) такія што



(**)



.

Азначэнне. Рацыянальныя дробы выгляду , , дзе -сапраўдныя лікі і , называюцца элементарнымі (ці найпрасцейшымі) рацыянальнымі дробамі.

Для знаходжання каэфіцыентаў (*) існуюць некалькі метадаў:



  1. метад адпаведных каэфіцыентаў.

Прыводзім правую частку роўнасці (**) да агульнага назоўніка, прыраўноўваем лічнікі правай і левай частак роўнасці (**). Затым прыраўноўваем каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях х. Атрымліваем сістэму п лінейных раўнанняў адносна каэфіцыентаў. Згодна тэарэмы гэта сістэма мае рашэнне.

  1. метад частковых значэнняў.

Сістэму раўнанняў для каэфіцыентаў можна атрымаць, калі падставіць ў абедзве часткі тоеснасці некаторыя зручныя (падыходзячыя) значэнні х.

Такім чынам ў працэсе інтэгравання рацыянальных функцый можна вылучыць наступныя этапы.



  1. Калі рацыянальны дроб няправільны, тады шляхам дзялення лічніка на назоўнік па правілу дзялення мнагаскладаў трэба вылучыць цэлую частку і запісаць дроб ў выглядзе

,

дзе , , некаторыя мнагасклады, а – правільны дроб.



  1. Раскласці назоўнік дроба ў выглядзе , , .

  2. Раскласці дроб на элементарныя па формуле (**)

  3. Знайсці каэфіцыенты у суме элементарных дробаў.

  4. Праінтэграваць цэлую частку і кожны элементарны дроб.


Інтэграванне элементарных дробаў



  1. , .

  2. ,

.

  1. , калі .

  2. ,











  1. ,

Аналагічна , .

.

.

Для знаходжання інтэграла –раней была выведзена рэкурэнтная формула



, дзе

Прыклады рашэння задач.

Інтэграванне элементарных дробаў.





.





.

Паводле рэкурэнтнай формулы маем



Таму






.

Інтэграванне рацыянальных дробаў

  1. Выпадак, калі карані назоўніка – сапраўдныя лікі кратнасці 1.

  2. .

  3. Падынтэгральны дроб – дроб няправільны.

Вылучым цэлую частку .

  1. Раскладзем назоўнік на множнікі: .

  2. Раскладзем дроб на найпрасцейшыя з нявызначанымі каэфіцыентамі

.

  1. Знойдзем каэфіцыенты

.

Прыраўнаем лічнікі дробаў і атрымаем тоеснасць



,

.

Каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях роўныя паміж сабой.

Атрымаем сістэму раўнанняў

Адсюль, , , ,

Знойдзем гэтыя каэфіцыенты метадам частковых значэнняў

,

адсюль атрымаем тоеснасць .

Будзем лічыць х паслядоўна роўным караням назоўніка дроба, з гэтай тоеснасці атрымаем x=0, A1=-3; x=1, A2=2; x=-1, A3=1.

Такім чынам



і



  1. Інтэгруем роўнасць



.


  1. Выпадак, калі назоўнік мае сапраўдныя кратныя карані.

2) .

Пад знакам інтэграла правільны рацыянальны дроб, у якога карані назоўніка сапраўдныя і сярод іх ёсць кратныя



.

Таму


Адсюль маем тоеснасць

Скарыстоўваючы метады частковых значэнняў і метад параўнання каэфіцыентаў, знойдзем

Таму




.

  1. Выпадак калі назоўнік дроба мае пару комплексных спалучаных каранёў.

3) .

Раскладзем правільны рацыянальны дроб пад знакам інтэграла на элеменарныя дробы.



.

Адсюль маем тоеснасць



.

Сістэма для знаходжання каэфіцыентаў мае выгляд



Знаходзім каэфіцыенты .

Такім чынам

.
4) .

Сярод каранёў назоўніка маем пару камплексных спалучаных, таму



.

Адсюль тоеснасць





.



.

Сістэма для знаходжання каэфіцыентаў мае выгляд



Рашэнне сістэмы: .

Таму

, дзе

.

Канчаткова





.


  1. Выпадак, калі назоўнік дроба мае кaмплексныя кратныя карані.

5) .

Падынтэгральны дроб правільны. Назоўнік мае кaмплексныя спалучаныя кратныя карані, таму



Адсюль мае месца тоеснасць





ці



.

Сістэма для вызначэння каэфіцыентаў мае выгляд



Такім чынам





.

Інтэграл знойдзем з дапамогай рэкурэнтнай формулы



.

Такім чынам





.
Практыкаванні для самастойнай працы.
Вылічыць інтэгралы




































































































































Тэма 3. Інтэграванне выразаў , якія змяшчаюць трыганаметрычныя функцыі

  1. Інтэгралы выгляду , дзе – рацыянальная функцыя ад і , пераўтвараюцца ў інтэграл ад рацыянальнай функцыі з дапамогай падстаноўкі

якая называецца ўніверсальнай трыганаметрычнай падстаноўкай.

Пры гэтай падстаноўцы

, , , .

Пры практычным прымяненні гэта падстаноўка часта прыводзіць да вялікіх вылічэнняў.

Іншыя метады дазваляюць вылічыць гэтыя інтэгралы значна хутчэй.


  1. Калі функцыя няцотная адносна сінуса, гэта значыць , тады інтэграл рацыяналізуецца пры дапамозе падстаноўкі .

  2. Калі , тады можна карыстацца падстаноўкай .

  3. Калі , тады рацыяналізацыя дасягаецца падстаноўкай .




  1. Інтэграванне здабытку сінусаў і косінусаў

Формулы трыганаметрыі

,

,

дазваляюць уявіць здабытак сінусаў і косінусаў у выглядзе лінейных камбінацый сінусаў і косінусаў з іншымі аргументамі.



  1. Вылічэнне інтэгралаў выгляду ,калі і – цэлыя лікі.

Калі (ці ) няцотны лік, тады рацыяналізацыя дасягаецца падстаноўкай (або ).

Калі цотны адмоўны лік, то падстаноўка прыводзіць інтэграл да таблічных інтэгралаў.

Калі і дадатныя цотныя лікі, тады мэтазгодна карыстацца формуламі , .

Прыклады рашэння задач




,


  1. .

Падынтэгральная функцыя няцотная адносна сінуса, таму падстаноўка рацыяналізуе інтэграл





.

Рацыяналізаваць інтэграл можна інакш





.










Раскладзем падынтэгральную функцыю на элементарныя дробы.





.

Метадам частковых значэнняў знойдзем каэфіцыенты

, таму



.

У гэтым прыкладзе таксама можна было зрабіць наступныя пераўтварэнні





.


  1. .

Падынтэгральная функцыя няцотная адносна , таму можна карыстацца падстаноўкай , тады

.

Атрымалі інтэграл рацыянальнага дробу. Пакажам, што ў дадазеным выпадку ўніверсальная падстаноўка прыводзіць да выніку хутчэй.





.


  1. .

Падынтэгральная функцыя няцотная косінуса, таму можна карыстацца падстаноўкай , тады

Апошні інтэграл лягчэй інтэграваць па частках





.

Такім чынам,



.


  1. .

Падынтэгральная функцыя цотная адносна косінуса і сінуса, таму можна карыстацца падстаноўкай .



.

Гэты інтэграл можна вылічыць інакш





.














.






.

Можна было зрабіць наступныя пераўтварэнні





.
Практыкаванні для самастойнай работы


























































Тэма 4. Інтэграванне некаторых ірацыянальных выразаў.

Інтэгралы выгляду , (1)

дзе рацыянальныя канстанты і , прыводзяцца да інтэгралаў ад рацыянальных дробаў пры дапамозе падстаноўкі

, (2)

дзе – агульны назоўнік лікаў .

У прыватнасці, інтэгралы тыпаў

і рацыяналізуюцца пры дапамозе падстановак і , дзе – агульны назоўнік лікаў , адпаведна.

Прыклады рашэння задач








.















.




.

Дроб раскладзем на элементарныя дробы метадам нявызначаных каэфіцыентаў.



, таму





, дзе .
Практыкаванні для самастойнай работы


























Тэма 5. Інтэграванне біномнага дыферэнцыялу
Інтэграл выгляду , дзе , , – рацыянальныя лікі, выяўляецца праз элементарныя функцыі толькі ў трох выпадках.

Выпадак I. – цэлы лік. Тады, калі , падынтагральны выраз запісываецца па біному Ньютана.

Калі , то падстаноўка , дзе – агульны назоўнік дробаў і , прыводзіць да інтэграла ад рацыянальнага дроба.



Выпадак II. – цэлы лік. Тады прымяняецца падстаноўка , дзе назоўнік дробу .

Выпадак III. – цэлы лік. Тады , дзе назоўнік дробу .
Прыклады рашэння задач



, , , – цэлы лік, таму маем I выпадак.



.


  1. .





.

Заўвага. Паколькі – цэлы лік, то ў гэтым выпадку можна карыстацца падстаноўкай (выпадак II).



  1. .





.


  1. .



.

.

Метадам нявызначаных каэфіцыентаў знойдзем , , , таму









, дзе .

Практыкаванні для самастойнай работы.


















Тэма 6. Інтэграванне функцый выгляду

Інтэгралы выгляду



(1)

вылічваюцца пры дапамозе адной з трох падстановак Эйлера:



  1. , калі ;

  2. , калі ;

  3. , калі .

Гэтыя падстаноўкі заўсёды рацыяналізуюць падынтэгральны выраз. Але для вылічэння многіх інтэгралаў выгляду існуюць іншыя прыёмы.

  1. Інтэгралы выгляду . (2)

пры дапамозе падстаноўкі прыводзяцца да выгляду , дзе , , – новыя каэфіцыенты.


  1. Інтэгралы выгляду , (3)

дзе – мнагасклад ступені , вылічваюцца па формуле прывядзення

, (4)

дзе мнагасклад ступені , – некаторая канстанта. Каэфіцыенты мнагасклада і сталая знаходзяцца метадам нявызначаных каэфіцыентаў.




  1. Інтэгралы выгляду (5)

падстаноўкай прыводзіцца да інтэграла папярэдняга тыпу.


  1. Інтэгралы выгляду (1) можна звесці да інтэгралаў наступных тыпаў

  2. ;

  3. ;

  4. ;

дзе , .

Для вылічэння інтэгралаў выгляду 1) – 3) спадручна карыстацца трыганаметрычнымі падстаноўкамі



  1. або ;

  2. або ;

  3. або .



Прыклады рашэння задач.

  1. .

, таму карыстаемся першай падстаноўкай Эйлера , адсюль , , , , таму

.

Атрымалі інтэграл ад рацыянальнага дробу. Раскладзем падынтэгральны дроб на элементарныя



Метадам нявызначаных каэфіцыентаў знаходзім , , ,





.


  1. .

, , таму . Адсюль , , , , , .

Такім чынам



.

Атрымалі інтэграл ад рацыянальнага дробу



.

Метадам нявызначаных каэфіцыентаў знаходзім , , , .

Таму



, дзе .


  1. .

Карані квадратовага трохскладу сапраўдныя і розныя . Таму карыстаемся трэццяй падстаноўкай Эйлера

, адсюль , , , , і ,

дзе .

Канчаткова атрымаем .
Практыкаванні для самастойнай работы.
Вылічыць інтэгралы.











Разгледзім іншыя метады рашэнняў інтэгралаў тыпу (1).

Прыклады рашэння задач






.


  1. .

, таму .

Паводле формулы (4) .

Дыферэнцуем апошнюю роўнасць

.

Прыводзім да агульнага назоўніка і атрымліваем тоеснасць



.

Прыраўняўшы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях , вызначым , , , .

Такім чынам



.




Вызначым каэфіцыенты , , . Дыферэнцуем апошнюю роўнасць



.

Метадам нявызначаных каэфіцыентаў атрымаем , , .





.








.




.

Гэты інтэграл можна было вылічыць пры дапамозе трыганаметрычнай падстаноўкі







.










.

(Параўнайце гэта рашэнне з рашэннем №6).



Практыкаванні для самастойнай работы.
Вылічыць інтэграл.






























: Matherials -> Mathem -> %D0%A5%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%93%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%95%D0%B2%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B0 -> %D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Заданні для кіравальнай самастойнай працы. Тэма 1: Вызначаны інтэграл і яго вылічэнне. Замена зменных і інтэграва
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Тэма 2: Дастасаванні вызначанага інтэграла да вылічэння плошчы плоскай фігуры, даўжыні дугі крывой, аб'ёма цела і плошчы паверхні авароту ( г.)
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Дадзены вучэбны дапаможнік змяшчае тэарэтычны выклад звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў для студэнтаў матэматычнага і фізіка-матэматычнага факультэтаў педуніверсітэта
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Інтэграванне функцый некалькіх зменных падвоены інтэграл І яго ўласцівасці. П паняцце падвоенага інтэграла
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Пытанні да экзамена
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Змест дапаможніка адпавядае праграме курса матэматычнага аналізу
%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 -> Пытанні да заліка лікавыя шэрагі




База данных защищена авторским правом ©vuchoba.org 2019
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка