Індывідуальныя заданні па тэме

Індывідуальныя заданні па тэме

для самастойнай работы студэнтаў.

Заданне 1

В-1. В-6.

В-2. В-7.

В-3. В-8.

В-4.+ В-9.

В-5. В-10.

В-11. В-12.

В-13. В-14.

В-15. В-16.

В-17. В-18.

В-19. В-20.

В-21. В-22.

В-23. В-24.

Заданне 2

В-1. абсяг D абмежаваны крывымі: х = 1,у = 1, x² + y² = 1.

B-2. абсяг D абмежаваны крывой x² + y² = a².

B-3. абсяг D абмежаваны крывымі: x² + y² = ²,

B-4. абсяг D абмежаваны крывымі х = 0, x = R,

B-5. абсяг D абмежаваны крывымі х² + у² = ,

B-6. абсяг D абмежаваны крывымі х² + у² = 1,

В-7. абсяг D абмежаваны крывой х² + у² = 4.

B-8. B-9.

B-10. B-11.

B-12. B-13.

B-14. B.15.

B-16.

B-17. B-18.

З дапамогай падвойных інтэгралаў вылічыць у палярных каардынатах плошчу плоскай фігуры, абмежаванай лініямі:

B-19.

B-20.

B-21.

B-22.

B-23.

B-24.

Заданне 3

Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай адпаведнымі лініямі:

В-1. х = (у  2)², у² = 4 – х.

В-2. у = х² – 2х + 2, датычнай да гэтай крывой у пункце А(3;5) і воссю ардынат.

В-3.

В-4.

В-5.

В-6. у² = 2х + 1, у² = –2х + 1.

В-7. у = 2х – х ², у = ½ х, y = 0.

B-8. у² = 4х, x + y = 3, y  .

B-9. у² = х + 2, у² = 4, x =2.

B-10. , x² = 4y.

B-11. y = cosx, y x + 1, y  .

B-12.

B-13. у = х² + 2, x = 2, y = x, x .

B-14. у = 6х², х + y = 2, x .

B-15. x = - 2y², x = 1 – 3y².

B-16. у = х² + 1, x + y = 3.

B-17. xу = a², х + y = 2,5a (a >).

B-18. xу = a², xу = 2a² , y = x, y = 2x (x >, y >).

B-19. (2x – 3y)² + x² = 3.

B-20.

B-21.

B-22.

B-23.

B-24.

Заданне 4

З дапамогай падвойных інтэгралаў вылічыць аб’ем цела, абмежаванага адпаведнымі паверхнямі.

В-1. z = х² + у², x + y = 1, x  0, y  0, z  0. (1/6)

B-2. z = 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0.

B-3. x + y + z = a, х² + у² = R², x = 0, y = 0, z = 0 (a R).

В-4. z = х² + у², x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

B-5. х² + у² = 1 (y 0), z = x, y = 0, z = 0.

B-6.

B-7. х² + у² = 2y, z = y, z = 0.

В-8. z = 2 - (х² + у²), x +2y = 1, x  0, y  0, z  0. (53/96)

В-9. z = х, y = 4, x = x  0, y 0, z 0. (118/3)

B-10. (11/60)

В-11. z =2 х² + у², x + y = 4, x  0, y 0, z 0. (64)

В-12. y =1- х², x + y+z = 3, y 0, z  0. (104/30)

В-13. z =4- х² ,x²+ у²=4, x  0, y 0, z  0. (3)

В-14. 2z = у², 2x + 3y-12 = 0, x  0, y 0, z  0. (16)

В-15. z = х² + у², x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

В-16. z =10 + х² +2у², x = 1,y = x, y  0, z  0. (65/12)

В-17. z = х² , x + y = 6, y =2x, x  0, y  0, z  0. (4)

В-18. z =3 х² + 2у² + 1, y = 1, y = x² – 1, z  0. (264)

В-19. y² =1- х, x + y+z = 1, x = 0, z = 0. (49/60)

В-20. y = х², x = y², z =3 х + 2у + 6, z = 0. (11/4)

В-21. х² = 1- y, x + y+z = 3, y  0, z  0. (52/15)

В-22. x =y², x + y+z = 4, x = 1, z = 0. (68/15)

В-23. y =2х, x + y+z = 2, x  0, z  0. (4/9)

В-24. y =1- z², y = x, y = - x, y  0, z  0. (8/15)

Заданне 5

В-1. (128)

В-2. (1555/12)

В-3. (8)

В-4. (15/2)

В-5. (8(/2 - 1))

()

В-7. (16/3)

В-8.

(31(4- 5)/15)

В-9. (81)

B-10.(13/8)

B-11.

(341( + 2)/20)

В-12.

(4/24)

З дапамогай патройнага інтэграла ў цыліндрычных каардынатах вылічыць аб’ём цела, абмежаванага паверхнямі:

В-13. ()

В-14. (81)

В-15. (4/3)

В-16. (1472/45)

В-17. (24)

В-18. (10)

B-19. (/10)

В-20. х² + у² = 1, z = 2– x – y , z≥ 0. (2)

В-21. х² + у² = 4, z = 4– x– y , z≥ 0. (16)

B-22. y = , z = 2y, z≥ 0. (36)

B-23. x = , z = x, z≥ 0. (16/3)

В-24. х² + у² =4, z = х² + у², z≥ 0. (8)

Вылічыць даденыя крывалінейныя інтэгралы:

В-1., дзе АВ – дуга парабалы у = х² ад пункта А(-1,1) да пункта В(1,1). (-6)

В-2. , дзе L – акружына x = 2 cos t, y = 2 sin t пры дадатным кірунку абыхода. (- 4)

В-3. , дзе L_OBA – ламаная ОВА;О(0,0), В(2,0),А(2,1). (-4)

В-4. дзе АВ – адрэзак прамой АВ; А(1,1), В(3,4).

(11)

В-5. дзе АВ – адрэзак прамой АВ; А(1,2), В(3,6). ()

В-7. , L_АВС – ламаная АВС; А(1,2), В(3,2), С(3,5).

(64)

В-8. , дзе АВ – дуга парабалы у² = 4 – 4х ад пункта А(1,0) да пункта В(0,2). (1715)

В-9. , дзе АВ – дуга парабалы у = 4х² ад пункта А(0,0) да пункта В(1,2). (0,5)

В-10. , дзе L – дуга цыклойды x=a (t - sin t),

y = a(1 – cost), 6  t  3. (

В-11. где L – чвэрць дугі акружыны x = R cos t, y = R sin t, якая ляжыць у першым квадранце ( кірунак супраць хода гадзіннікавай стрэлкі). (0)

В-12. , дзе L – дуга эліпса x = а cos t, y =b sin t ( кірунак супраць хода гадзіннікавай стрэлкі). (- 2ab)

В-13. дзе L – дуга верхняй паловы акружыны x²+ y² = R² (дадатны кірунак абыхода контура). (R²/2)

В-14. , дзе L_OB – адрэзак прамой, які злучае пункты О(0,0) і В(3,6), (18)

В-15. дзе ОА – дуга парабалы х = 2 у² ад пункта О(0,0) да пункта А(2,1). (2,4)

В-16. , дзе L_АB – любая лінія, якая злучае пункты А(0,2) і В(1,2). (2)

В-17. , дзе L – контур трохвугольніка з вершынямі А(0,0), В(1,0), С(0,1) пры дадатным кірунку абыхода контура.

(- 1/3)

В-18. , дзе L_АВО – ламаная АВО; О(0,0),А(1,2), В(1/2,3) (дадатны кірунак абходу контура). (-1/2)

В-19. , дзе L_АB – любая лінія, якая злучае пункты А(4,2) і В(6,1). (-1/2)

В-20. , дзе АВ – дуга правай паўакружыны x²+ y² = а² ад пункта А(0,-а) да пункта В(0,а). (а²2)

В-21. , дзе L – контур фігуры, якая абмежавана парабалай у = х² і прамой у = 9 пры дадатным кірунку абыхода. (0)

В-22. дзе L – верхняя дуга астройды x = 8 cos³ t, y = 8 sin³ t ад пункта (8,0) да пункта (-8,0). (- 24)

y =2 sin t (кірунак па ходу гадзіннікавай стрэлкі). (80/3)

Паказаць, што дадзены выраз з’яўляецца поўным дыферэнцыялам функцыі u(x,y). Аднавіць функцыю па яе поўнаму дыферэнцыялу.

В-1. du(x,y) = (х² + 2xy – у²)dx + (х² – 2xy – у²) dy.

В-2. du(x,y) = (3х²y  у³)dx + (х³ – 3у²x) dy.

В-3. du(x,y) = xy (xy³dx + 4/3 х²у² dy).

B-4. du(x,y) = e^xy (( 1 + xy)dx + х² dy).

B-5. du(x,y) = B-6. du(x,y) =

B-7. du(x,y) = .

(ln(1+x² y²) – 3x –5y + C)

B-8. du(x,y) = (3x+- y + C )

B-9. du(x,y) = =

(ln(x+y)+sinx  cosy – x³ + 2y² + C)

B-10. du(x,y) =( e^x+y - cosx)dx+( e^x+y + siny)dy. ( e^x+y – cosy- sinx + C) B-11. du(x,y) =+.

(arcsin xy + x² + 3y² + C)

B-12. du(x,y) = (e^xy + xye^xy+2)dx+(x ²e^xy+1)dy. (xe^xy + 2x+ y + C)

B-13. du(x,y) =(ye^xy+y²)dx+(xe^xy+2xy)dy. (e^xy + xy²+C)

B-14. du(x,y) =

B-15. du(x,y) = (5y+cosx+6xy²)dx+ (5x+ 6x² y)dy. (sinx + 5xy + 3x² y²+C )

B-16. du(x,y) =

B-17. du(x,y) = (ln(xy) + x/y + C) B-18. du(x,y) = y(e^xy+5)dx+x(e^xy+5)dy. (e^xy+5xy + C) B-19. du(x,y) =

(x²/2 + arctg

B-20. du(x,y) = (ylnx + xlny+ C)

B-21. du(x,y) = e^x-y(1+ x + y)dx+e^x-y(1- x - y)dy. ( e^x-y(x + y)+ C)

B-22. du(x,y) = +

B-23. du(x,y) = (