Раздзел Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай Глава Нявызначаны інтэграл

1. 
   і функцыя F(x) + c, дзе с - conct , з’яўляецца першаіснай функцыі f на мностве Х;
   
2. 
   кожная пеpшаісная Ф функцыі f на прамежку Х можа мець выгляд: Ф(х) = F(х) + с (1).
   

на прамежку Х і абазначаецца :.

Функцыя f называецца падынтэгральнай функцыяй, дыферэнцыяльны выраз f(x)dx – падынтэгральным выразам.

Адпаведна т.2 (п.2) = Ф(х), а з улікам формулы (1) можна запісаць = F(x) + c. (2)

Аперацыя знаходжання кожнай першаіснай функцыі f называецца інтэграваннем, а выраз “браць інтэграл ад функцыі f” або “знайсці інтеграл ад функцыі f” азначае знаходжанне кожнай першаіснай функцыі f.

()’ = f(x).



2 Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу:

d() = ()’ = f(x)dx.

1	,    1	10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9

Прыкладамі з’яўляюцца наступныя інтэгралы.

1. - інтэграл Пуасона. 2. - інтэгральны косінус.

3. - інтэгральны сінус.

4. - інтэгралы Фрэнэля.

§2. Асноўныя метады інтэгравання
п1. Метад замены зменнай

Тэарэма 1. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х, г.зн. = F(x) + c (1). Няхай x = u(t) - функцыя са значэннямі E(u)  X дыферэнцавальная на прамежку Т і мае непарыўную вытворную u’(t) на гэтым прамежку, то функцыя F(u(t)) з’яўляецца першаіснай функцыі f(u)u’(t) на мностве Т , г.зн. мае месца роўнасць: = F(u(t)) + c. (2)

 Паколькі xX F’(x) = f(x) (3), то функцыя h(t) = (Fu)(t) = F(u(t)) па тэарэме аб дыферэнцавальнасці складанай функцыі будзе дыферэнцавальнай і яе вытворная F ‘(u(t)) = F ‘(u)u’(t)=(у сілу (3)) = f(u)u’(t). Такім чынам F(u(t)) – першаісная функцыі f(u)u’(t) tT і мае месца роўнасць (2). 

1. Няхай вядомы інтэграл (1), трэба вылічыць інтэграл (2), тады

Гэты метад называецца метадам паднясення пад знак дыферэнцыяла.

2. Трэба вылічыць інтэграл (1), скарыстаўшы падстаноўку x = u(t), дзе u(t) – адваротная функцыя манатонная і непарыўная на мностве Т. У выніку прыходзім да інтэграла (2):

або карацей - формула інтегравання часткамі.



Прыклады._§3._Інтеграванне_рацыянальных_функцый__(рацыянальных_дробаў)_п1.Інтеграванне_простых_рацыянальных_дробаў'>Заўвага 3.

Прыклады.
§3. Інтеграванне рацыянальных функцый

(рацыянальных дробаў)
п1.Інтеграванне простых рацыянальных дробаў

Азначэнне 1. Дpобы выгляду (І), (ІІ), (ІІІ), (IY), дзе A, a, M, N, p, q  R, n  N, D = p² – 4q < 0, называюцца простымі рацыянальнымі дробамі.

Тэарэма 1. Нявызначаныя інтэгралы ад простых рацыянальных дробаў (І-ІІІ) выражаюцца ў элементарных функцыях.

 для дробаў І – ІІІ.

Доказу выпадку (IY) папярэднічае рэкурэнтная формула для інтэграла = I_n:

. (1)

Формула (1) дазваляе падлічыць інтэграл I_n паслядоўным паніжэннем ступені ў назоўніку да той пары, пакуль не атрымаецца таблічны інтеграл

I₁ = .

 для выпадку дробаў тыпу (IY).

P_n(x) = a_oxⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + …+ a_n-1x + a_n ,

Q_m(x) = b_ox^m + b₁x^m-1 + b₂x^m-2 + …+ b_m-1x + b_m.

Азначэнне 3. Рацыянальны дроб называецца правільным, калі ступень лічніка меней ступені назоўніка, і называецца няправільным, калі ступень лічніка роўна або болей ступені назоўніка.

Прыклады.__Інтэграванне_бінаміяльнага_дыферэнцыяла___(дыферэнцыяльнага_біному)__Азначэнне_3.'>Прыклады.

Заўвага. Цэлая рацыянальная функцыя – мнагасклад. Таму ўсякі няправільны рацыянальны дроб можна звесці да сумы мнагасклада і правільнага дроба. Другімі словамі, з усякага няправільнага дроба можна вылучыць цэлую частку – мнагасклад і дробавую частку – праільны дроб.

Прымем без доказа дзве тэарэмы.

Q_m(x) = (x – a₁)^r₁(x – a₂)^r₂…(x – a_k)^r_k(x² + p₁x + q₁)^s₁(x² + p₂x + q₂)^s₂…

(x² + p_tx + q_t)^s_t, дзе r₁+ r₂+… r_k+ 2(s₁+ s₁+… s_t) = m, r_i,s_j  N, i = 1,2,…,k,

j = 1,2,…,t. (2)

1) правую частку раскладання прыводзім да агульнага назоўніка; атрымаем роўнасць двух дробаў з агульнымі назоўнікамі, у лічніках якіх мнагасклады;

2) параўнаем мнагасклады і скарыстаем умову тоеснай роўнасці: роўнасць каэфіцыентаў пры аднолькавых ступенях правай і левай частак;

2) рашым сістэму раўнанняў адносна невядомых каэфіцыентаў.

1. 
   выдзяліць цэлую частку, калі дроб няправільны;
   
2. 
   раскласці назоўнік на множнікі тыпу (2).
   
3. 
   скарыстаць метад нявызначаных каэфіцыентаў.
   

З тэарэм 1,2,3 вынікае тэарэма 4.

Сапраўды па т.3 усякі рацыянальны дроб можна прадставіць у выглядзе сумы мнагасклада і простага рацыянальнага дроба, інэгралы ад якіх па т.1 з’яўляюцца элементарнымі функцыямі, а таму і інтэграл ад рацыянальнай функцыі – элементарная функцыя як сума элементарных функцый.

Інтеграванне функцый выгляду .

Кажуць, што інтэграл ад іраыянальнай функцыі рацыяналізуецца, калі пры дапамозе адпаведнай падстаноўкі яго можна звесці да інтэграла ад рацыянальнай функцыі. З папярэдняга параграфу вядома, што інтэграл ад рацыянальнай функцыі можна выразіць ў элементарных функцыях.

,

б) p Z, m, n – дробы, тады I = рацыяналізуецца падстаноўкай x = t^s.

Рускі матэматык П.Л.Чэбышоў даказаў т.2 і паказаў, што інтэграл ад дыферэнцыяльнага біному выражаецца ў элементарных функцыях толькі ў прапанаваных выпадках.

1. 
   Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
   
2. 
   Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
   
3. 
   Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
   

1) = , a > 0;

2) = t – (x  ), дзе  - корань ;

3) = , с > 0.



Тэарэма 2. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца з дапамогай універсальнай падстаноўкі .

1. 
   калі m – няцотны лік, n Z, то падстаноўкай (або sinx паднясем пад знак дыферэнцыяла), калі n – няцотны лік, m Z, то падстаноўкай (або cosx паднясем пад знак дыферэнцыяла);
   
2. 
   калі m i n – цотныя дадатныя лікі, то ступень функцый можна панізіць па формулах: .
   
3. 
   калі m i n – цотныя лікі розных знакаў, то падстаноўкай .