Раздзел 3. Інтэгральнае злічэнне
для функцыі адной зменнай
Глава 1. Нявызначаны інтэграл
§1.Паняцці першаіснай (першавобразнай)
і нявызначанага інтэграла
Азначэнне 1. Функцыя F называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xX F’(x) = f(x).
Напрыклад.
Тэарэма 1. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х, тады:
-
і функцыя F(x) + c, дзе с - conct , з’яўляецца першаіснай функцыі f на мностве Х;
-
кожная пеpшаісная Ф функцыі f на прамежку Х можа мець выгляд: Ф(х) = F(х) + с (1).
Тэарэма 2. Кожная непарыўная на прамежку Х функцыя мае першаісную.
Азначэнне 2. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х. Кожная першаісная Ф функцыі F(x) + c на прамежку Х называецца нявызначаным інтэгралам функцыі f на прамежку Х і абазначаецца : .
Функцыя f называецца падынтэгральнай функцыяй, дыферэнцыяльны выраз f(x)dx – падынтэгральным выразам.
Адпаведна т.2 (п.2) = Ф(х), а з улікам формулы (1) можна запісаць = F(x) + c. (2)
Аперацыя знаходжання кожнай першаіснай функцыі f называецца інтэграваннем, а выраз “браць інтэграл ад функцыі f” або “знайсці інтеграл ад функцыі f” азначае знаходжанне кожнай першаіснай функцыі f.
Прыклады.
Уласцівасці нявызначанага інтэграла
1 Вытворная ад нявызначанага інтэграла роўная падынтэгральнай функцыі:
( )’ = f(x).
2 Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу:
d( ) = ( )’ = f(x)dx.
3 Пастаянны множнік можна выносіць за знак інтэграла:
= а .
4 Інтэграл ад алгебраічнай сумы роўны алгебраічнай суме інтэгралаў:
  .
Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
1
|
, 1
|
10
|
|
2
|
|
11
|
|
3
|
|
12
|
|
4
|
|
13
|
|
5
|
|
14
|
|
6
|
|
15
|
|
7
|
|
16
|
|
8
|

|
17
|
|
9
|
|
|
|
Прыклады._2_.'>Прыклады.__Заўвага.'>Прыклады.
Заўвага. Вядома, што вытворныя ад элементарных функцый – функцыі элементарныя. Інтэграл ад элементарных функцый не заўсёды з’яўляецца элементарнай функцыяй. Таму інтэгралы ў гэтым выпадку можна знайсці расклаўшы падынтэгральную функцыю ў ступенеы шэраг.
Прыкладамі з’яўляюцца наступныя інтэгралы.
1. - інтэграл Пуасона. 2. - інтэгральны косінус.
3. - інтэгральны сінус.
4.  - інтэгралы Фрэнэля.
§2. Асноўныя метады інтэгравання
п1. Метад замены зменнай
Тэарэма 1. Няхай функцыя F - першаісная функцыі f на прамежку Х, г.зн. = F(x) + c (1). Няхай x = u(t) - функцыя са значэннямі E(u) X дыферэнцавальная на прамежку Т і мае непарыўную вытворную u’(t) на гэтым прамежку, то функцыя F(u(t)) з’яўляецца першаіснай функцыі f(u)u’(t) на мностве Т , г.зн. мае месца роўнасць: = F(u(t)) + c. (2)
Паколькі xX F’(x) = f(x) (3), то функцыя h(t) = (Fu)(t) = F(u(t)) па тэарэме аб дыферэнцавальнасці складанай функцыі будзе дыферэнцавальнай і яе вытворная F ‘(u(t)) = F ‘(u)u’(t)=(у сілу (3)) = f(u)u’(t). Такім чынам F(u(t)) – першаісная функцыі f(u)u’(t) tT і мае месца роўнасць (2).
Заўвага 1. Тэарэмай 1 карыстаюцца пры вылічэнні інтэгралаў, так званым метадам падстаноўкі ў двух выпадках:
1. Няхай вядомы інтэграл (1), трэба вылічыць інтэграл (2), тады
= = =F(x) + c = F(u(t)) + c.
Гэты метад называецца метадам паднясення пад знак дыферэнцыяла.
Заўвага 2. На падставе ўласцівасці першаіснай мае месца роўнасць:
=
Прыклады.
2. Трэба вылічыць інтэграл (1), скарыстаўшы падстаноўку x = u(t), дзе u(t) – адваротная функцыя манатонная і непарыўная на мностве Т. У выніку прыходзім да інтэграла (2):
= = = F(u(t)) + c, дзе u(t)= х.
Прыклады.
п2. Метад інтэгравання часткамі
Тэарэма 2. Няхай функцыі u(х) і v(x )дыферэнцавальныя і непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць:
, (4)
або карацей - формула інтегравання часткамі.
Прыклады._§3._Інтеграванне_рацыянальных_функцый__(рацыянальных_дробаў)_п1.Інтеграванне_простых_рацыянальных_дробаў'>Заўвага 3.
Прыклады.
§3. Інтеграванне рацыянальных функцый
(рацыянальных дробаў)
п1.Інтеграванне простых рацыянальных дробаў
Азначэнне 1. Дpобы выгляду (І), (ІІ), (ІІІ), (IY), дзе A, a, M, N, p, q R, n N, D = p2 – 4q < 0, называюцца простымі рацыянальнымі дробамі.
Тэарэма 1. Нявызначаныя інтэгралы ад простых рацыянальных дробаў (І-ІІІ) выражаюцца ў элементарных функцыях.
для дробаў І – ІІІ.
Доказу выпадку (IY) папярэднічае рэкурэнтная формула для інтэграла = In:
. (1)
Формула (1) дазваляе падлічыць інтэграл In паслядоўным паніжэннем ступені ў назоўніку да той пары, пакуль не атрымаецца таблічны інтеграл
I1 = .
для выпадку дробаў тыпу (IY).
Прыклад.__Заўвага_1.'>Прыклад._п2._Інтеграванне_рацыянальных_функцый_(дробаў)__Азначэнне_2.'>Прыклад.
п2. Інтеграванне рацыянальных функцый (дробаў)
Азначэнне 2. Рацыянальнай функцыяй называецца функцыя выгляду , дзе Pn(x) i Qm(x) – мнагасклады ступеняў адпаведна n i m з сапраўднымі каэфіцыентамі:
Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an ,
Qm(x) = boxm + b1xm-1 + b2xm-2 + …+ bm-1x + bm.
Азначэнне 3. Рацыянальны дроб называецца правільным, калі ступень лічніка меней ступені назоўніка, і называецца няправільным, калі ступень лічніка роўна або болей ступені назоўніка.
Прыклады.__Інтэграванне_бінаміяльнага_дыферэнцыяла___(дыферэнцыяльнага_біному)__Азначэнне_3.'>Прыклады.
Заўвага. Цэлая рацыянальная функцыя – мнагасклад. Таму ўсякі няправільны рацыянальны дроб можна звесці да сумы мнагасклада і правільнага дроба. Другімі словамі, з усякага няправільнага дроба можна вылучыць цэлую частку – мнагасклад і дробавую частку – праільны дроб.
Прымем без доказа дзве тэарэмы.
Тэарэма 2. Мнагасклад Qm(x) можна адзіным чынам прадставіць у выглядзе здабытку лінейных множнікаў xa у адпаведных ступенях і квадратовых множнікаў віду x2 + px + q (D = p2 – 4q < 0) у адпаведных ступенях:
Qm(x) = (x – a1)r1(x – a2)r2…(x – ak)rk(x2 + p1x + q1)s1(x2 + p2x + q2)s2…
(x2 + ptx + qt)st, дзе r1+ r2+… rk+ 2(s1+ s1+… st) = m, ri,sj N, i = 1,2,…,k,
j = 1,2,…,t. (2)
Тэарэма 3. Калі назоўнік правільнага рацыянальнага дроба Qm(x) можна прадставіць у выглядзе (2), то рацыянальны дроб адзіным чынам можна прадставіць у выглядзе сумы простых рацыянальных дробаў віду (I- IY), дзе множніку (x – a)k адпавядае сума: + + …+ , множніку (x2 + px + q )t – сума: + +…+ .
Прыклад.
Заўвага 1. Невядомыя каэфіцыенты ў раскладанні рацыянальнага дробу на простыя дробы можна знайсці , так званым, метадам нявызначаных каэфіцыентаў па наступнаму алгарытму:
1) правую частку раскладання прыводзім да агульнага назоўніка; атрымаем роўнасць двух дробаў з агульнымі назоўнікамі, у лічніках якіх мнагасклады;
2) параўнаем мнагасклады і скарыстаем умову тоеснай роўнасці: роўнасць каэфіцыентаў пры аднолькавых ступенях правай і левай частак;
2) рашым сістэму раўнанняў адносна невядомых каэфіцыентаў.
Заўвага 2. Інтэграванне рацыянальных дробаў падпарадкоўваецца наступнаму алгарытму:
-
выдзяліць цэлую частку, калі дроб няправільны;
-
раскласці назоўнік на множнікі тыпу (2).
-
скарыстаць метад нявызначаных каэфіцыентаў.
З тэарэм 1,2,3 вынікае тэарэма 4.
Тэарэма 4. Інтэграл ад рацыянальнай функцыі выражаецца ў элементарных функцыях.
Сапраўды па т.3 усякі рацыянальны дроб можна прадставіць у выглядзе сумы мнагасклада і простага рацыянальнага дроба, інэгралы ад якіх па т.1 з’яўляюцца элементарнымі функцыямі, а таму і інтэграл ад рацыянальнай функцыі – элементарная функцыя як сума элементарных функцый.
Прыклады._§5._Інтеграванне_трыганаметрычных_функцый__Тэарэма_1.'>Прыклады.
§4. Інтеграванне ірацыянальных функцый
Азначэнне 1. Будзем называць функцыю ірацыянальнай, калі ў яе формуле ёсць радыкал (корань).
Прыклад.
Азначэнне 2. Праз R(x,y) будзем абазначаць рацыянальную функцыю, у склад якой х і у уваходзяць злучаныя знакамі арыфметычных дзеянняў.
Напрыкад, 1) R(x,y) = ; 2) , дзе ролю у адыгрывае .
Інтеграванне функцый выгляду .
Кажуць, што інтэграл ад іраыянальнай функцыі рацыяналізуецца, калі пры дапамозе адпаведнай падстаноўкі яго можна звесці да інтэграла ад рацыянальнай функцыі. З папярэдняга параграфу вядома, што інтэграл ад рацыянальнай функцыі можна выразіць ў элементарных функцыях.
Тэарэма 1. Інтэграл ад функцыі , дзе nN, a,b,c,dR, рацыяналізуецца падстаноўкай
Заўвага. Інтэграл ад функцыі рацыяналізуецца падстаноўкай , дзе k = НАК(k1,k2,…,kn).
Прыклады.
Інтэграванне бінаміяльнага дыферэнцыяла
(дыферэнцыяльнага біному)
Азначэнне 3. Выраз , дзе m, n, p Q называецца бінаміяльным дыферэнцыялам або дыферэнцыяльнам біномам , а - інтэгралам ад дыферэнцыяльнага біному .
Тэарэма 2. Інтэграл ад дыферэнцыяльнага біному рацыяналізуецца ў наступных выпадках:
1. а) m, n, p Z інтэграл ад рацыянальнай функцыі.
б) p Z, m, n – дробы, тады I = рацыяналізуецца падстаноўкай x = ts.
2. р – дробавы лік. Для рацыяналізацыі інтэграла разгледзім дзве ўмовы: 1) калі Z, то працуе падстаноўка a+bxn = ts, дзе s – назоўнік р ; 2) калі Z, то лічым , калі гэта сума Z, то працуе падстаноўка a + bxn = tsxn.
Рускі матэматык П.Л.Чэбышоў даказаў т.2 і паказаў, што інтэграл ад дыферэнцыяльнага біному выражаецца ў элементарных функцыях толькі ў прапанаваных выпадках.
Тэарэма 3. Інтэгралы тыпу рацыналізуюцца, так званай, адваротнай падстаноўкай .
Прыклады.
Трыганаметрычныя падстаноўкі
-
Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
-
Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
-
Калі інтэграл мае радыкал , то паложым .
Прыклады
ёІнтэграванне выразаў падстаноўкамі Эйлера
Тэарэма 4. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца з дапамогай адной з наступных падстановак Эйлера:
1) = , a > 0;
2) = t – (x ), дзе - корань ;
3) = , с > 0.
Прыклады.
§5. Інтеграванне трыганаметрычных функцый
Тэарэма 1. Інтэграл тыпу (1) рацыяналізуецца з дапамогай універсальнай падстаноўкі .
Тэарэма 2. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца з дапамогай універсальнай падстаноўкі .
Заўвага 1. Можна даказаць, што калі , то інтеграл (1) рацыяналізуецца падстаноўкай .
Заўвага 2. Можна даказаць, што калі , то інтеграл (1) рацыяналізуецца падстаноўкай , калі , то падстаноўкай .
Прыклады.
Заўвага 3. Інтэграл тыпу (2) з’яўляецца чстковым выпадкам інтэграла (1), калі ) m, n Z і бярэцца з дапамогай адной з вышназваных падстановак, але яго можна знайсці прасцей у наступных выпадках:
-
калі m – няцотны лік, n Z, то падстаноўкай (або sinx паднясем пад знак дыферэнцыяла), калі n – няцотны лік, m Z, то падстаноўкай (або cosx паднясем пад знак дыферэнцыяла);
-
калі m i n – цотныя дадатныя лікі, то ступень функцый можна панізіць па формулах: .
-
калі m i n – цотныя лікі розных знакаў, то падстаноўкай .
Заўвага 4. Інтэгралы тыпу рацыяналізуюцца падстаноўкай ex = t.
Поделитесь с Вашими друзьями: |